"Inverso" $N$-problema corporal [cerrado]

Question

Hay un conocido $N$-problema corporal en mecánica clásica: Dadas las posiciones y velocidades iniciales de $N$ partículas en algún espacio, describe su dinámica durante algún intervalo de tiempo.

Me interesa alguna forma de problema "inverso": supongamos que sabemos que hay $(N+1)$partículas en algún espacio. Se nos dan las trayectorias de$N$de estas partículas durante algún intervalo de tiempo. El problema es restaurar la trayectoria del$(N+1)$-ésima partícula en el mismo intervalo de tiempo.

Se supone que se conoce el campo de fuerza subyacente. Por ejemplo, podemos suponer que cada par de partículas se atrae de acuerdo con la ley del cuadrado inverso.

¿Cuál es un nombre correcto generalmente aceptado para este problema? ¿Este problema está descrito en la literatura?

Answer 1

Si el sistema está aislado, entonces el centro de masa de este sistema se mueve a una velocidad constante (generalmente cero). $\mathbf{v}_c$: $$ \sum_{i=1}^{N+1}m_i\mathbf{r}_i(t)=M \mathbf{r}_c(t)=M(\mathbf{r}_0+\mathbf{v}_c t) $$ Si $\mathbf{r}_i(t)$ son conocidos por todos $i=1,\ldots,N$, entonces $\mathbf{r}_{N+1}(t)$se puede obtener de esta ecuación: \ begin {ecuación} \ etiqueta {1} \ mathbf {r} _ {N + 1} (t) = \ frac {1} {m_ {N + 1}} \ left (M ( \ mathbf {r} _0 + \ mathbf {v} _c t) - \ sum_ {i = 1} ^ {N} m_i \ mathbf {r} _i (t) \ right) \ end {ecuación} Esta ecuación contiene 2 parámetros desconocidos : posición inicial del centro de masa$\mathbf{r}_0$ y su velocidad $\mathbf{v}_c$. Estos parámetros pueden obtenerse (presumiblemente) al requerir que las ecuaciones de movimiento se mantengan (ya que se conoce la ley de interacción).

ACTUALIZAR:

Para obtener $\mathbf{r}_0$ y $\mathbf{v}_c$ de las ecuaciones de movimiento:

Suponga que la energía potencial es: $U=\sum_{i=1}^{N}\sum_{k=i+1}^{N+1}U(|\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_k|)$. Entonces la ecuación de movimiento para cada partícula es: $$ m_i\mathbf{\ddot{r}}_i=-\sum_{k=1}^{N+1}U'(|\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_k|)\frac{\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_k}{|\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_k|} $$ Para la primera partícula: $$\tag{2} m_1\mathbf{\ddot{r}}_1=-\sum_{k=1}^{N}U'(|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_k|)\frac{\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_k}{|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_k|}-U'(|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_{N+1}|)\frac{\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_{N+1}}{|\mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{N+1}|} $$ Sustituyendo la solución (1) en la ecuación (2) y estableciendo $t=0$ conduce a una ecuación para $\mathbf{r}_0$. Por supuesto, la ecuación puede ser no lineal y puede tener múltiples soluciones.

Después $\mathbf{r}_0$ es encontrado, $\mathbf{v}_c$ se puede obtener de la misma ecuación (2) para $t>0$.