Isomorfismo $f:\mathbb{Z}/17\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/561\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/51\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/187\mathbb{Z}$ [duplicar]

Question

Me gustaría encontrar un isomorfismo de grupo. $f:\mathbb{Z}/17\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/561\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/51\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/187\mathbb{Z} $. Por el teorema fundamental de un grupo abeliano finito y el teorema del resto chino, sabemos que esos grupos son isomorfos, pero quiero mostrarlo construyendo un isomorfismo.

Sin embargo, no sé cuál es el primer paso. Lo único que sé es que$f(0,0)=(0,0)$ ya que un isomorfismo asigna un elemento de identidad a un elemento de identidad.

Entonces vi ¿Cómo construir un isomorfismo? y traté de imitar la forma, como$f(x,y)=(x\mod{51},y\mod{187})$, pero obviamente no es un rechazo.

Ahora estoy atrapado aquí. ¿Alguna ayuda?

Answer 1

Introducimos un grupo intermedio $\mathbb Z_{17}×\mathbb Z_3×\mathbb Z_{187}$. Representar un elemento arbitrario de este grupo como$(a,b,c)$ donde los índices son residuos módulo $17,3,187$ respectivamente.

Hay un isomorfismo de este grupo al dominio de $f$: $(a,b,c)\mapsto(a,187b+c)$. También hay un isomorfismo al codominio de$f$: $(a,b,c)\mapsto(3a+b,c)$. Ponga estos dos isomorfismos juntos y tendrá los$f$.