¿La secuencia $\{f_n\}$ converger en $L^1$?

Question

Considere la secuencia de funciones $f_n\in L^1(\Bbb R)$ definido por $f_n(x)=n\chi_{(0,1/n)}(x)$ para $x\in\Bbb R$. ¿La secuencia$\{f_n\}$ converger en $L^1$?

Intento. Creo que no. Supongamos que existe una función$g\in L^1(\Bbb R)$ tal que $f_n\to g$ en $L^1$. Entonces por desigualdad de Minkowski tenemos$$0=\lim_{n\to\infty}\|f_n-g\|_1\geq \lim_{n\to\infty}|\|f_n\|_1-\|g\|_1|=\lim_{n\to\infty}|1-\|g\|_1|=1-\|g\|_1$$ implica que $\|g\|_1\geq 1.$ Por otra parte, $$0=\lim_{n\to\infty}\|f_n-g\|_1=\lim_{n\to\infty}\int_{\Bbb R}|f_n(x)-g(x)|dx.$$Aquí, no estoy seguro de que podamos utilizar el Teorema de convergencia dominado de Lebesgue. Si es así, obtenemos$\|g\|_1=0$, contradicción. Además, es fácil ver que$f_n$converge a la función cero puntualmente. ¡Gracias!

Answer 1

Respuesta simple: si converge, solo puede converger a la función cero. Esto se debe a que la convergencia en$L^{1}$ implica ae convergencia para una subsecuencia y el límite puntual es $0$. Ahora$\int |f_n-0|=1$ entonces $(f_n)$ no converge en $L^{1}$.