Límite de una función convexa

Aug 18 2020

Necesitaría verificar el siguiente ejercicio:

Dejar $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ una función convexa.

  • Pruebalo $\lim_{x \rightarrow \infty} f(x)$ y $\lim_{x \rightarrow - \infty} f(x)$ existe

  • Demuestre que si ambos límites son finitos, entonces $f$ es constante.


Mi intento:

i) se que si $f$ es convexo, entonces $$f(t x_1 + (1-t)x_2)< t f(x_1) + (1-t) f(x_2)$$

Si arreglo un arbitrario $N>0$, entonces tengo eso para $x>x_2 \colon \quad f(x)>N$, gracias a la convexidad, por lo tanto, esto demuestra el límite para $+ \infty$ es $+\infty$.

El mismo argumento se aplica a $\lim_{x \rightarrow -\infty}f(x)$: basta con señalar que para $x<x_1 \colon \quad f(x)>N$.


ii)

Gráficamente es obvio, pero tengo algún problema para formalizarlo.

Si el límite es finito, di $L$, luego para cada $\varepsilon >0$ existe un $M(\varepsilon)$ tal que para $$x>M(\varepsilon) \colon \quad |f(x)-L|\leq \varepsilon$$

Asumir $f (x) \ne c$. Por definición de convexidad, tiene que mantenerse (por$t \in [0,1]$) $$t f(M)+(1-t)f(M+1) \leq f(t M + (1-t)(M+1))$$

Ahora, por definición de límite, $f(M)$ y $f(M+1)$ son menos que $L-\varepsilon$. Además, el argumento en el lado derecho de la desigualdad se puede simplificar:

$$L-\varepsilon <t f(M)+(1-t)f(M+1) \leq f(t M + (1-t)(M+1)) = f(M-t)$$

Por lo tanto $$L-\varepsilon < f(M-t)$$, lo cual es una contradicción porque $M-t<M$ y por lo tanto puede ser mayor que $L-\varepsilon$.

Entonces $f$ tiene que ser igual a $c$. De hecho, en este caso, sigue siendo (trivialmente) convexo, y los límites son, por supuesto, finitos.

Respuestas

TheSilverDoe Aug 18 2020 at 12:11

Sugerencia: intente demostrar que una función convexa es decreciente, creciente, decreciente y luego creciente.

AndrewKay Aug 21 2020 at 15:40

convexidad generalmente significa "$\le$", no"$\lt$"(de lo contrario, es" estrictamente convexo ").

No desea mostrar que f siempre va al infinito, porque no es necesario.

Empezar con $x\rightarrow\infty$.

Supongamos primero que hay dos puntos $x\lt y$ con $f(x)\lt f(y)$. A continuación, nos podemos mostrar que f tiende a infinito. Podemos suponer sin pérdida de generalidad que$x=0$ y $f(x)=0$ (De lo contrario, simplemente deslice y cambie f hasta que lo haga. No cambiará el comportamiento que nos interesa).

Considere algunos $z>y$. Ya que$y>x=0$, luego $z=y/t$ para algunos $0<t<1$. Entonces por convexidad,$$tf(z)=tf(y/t)+(1-t)f(0)\ge f(t(y/t)+(1-t)0)=f(y)$$ Entonces $f(z)\ge f(y)/t$. Como$z\rightarrow \infty$ está claro que $t$ va a $0$, entonces $f(y)/t\rightarrow\infty$ (recuerda $f(y)>0$) y por lo tanto también $f(z)$. Por tanto en este caso$f$ aumenta hasta el infinito.

De lo contrario, nuestra suposición era falsa, por lo que f debe ser constante o no constante y monótona decreciente. Supongamos que es lo último. Nuevamente, mueva el origen para que$f(0)=0$. Luego$f(1)<0$ y es fácil de mostrar por la propiedad de convexidad que $f(t)\le t f(1)$ y entonces $f$ se va a menos infinito.

Luego puede repetir el argumento por simetría, para el comportamiento como $x\rightarrow-\infty$.