Lineal funcional sobre $\mathbb{R}$ Espacio vectorial

Question

Si f y g son dos funcionales lineales distintos de cero en $\mathbb{R}$ espacio vectorial $V$[dimensión finita]. Tal que siempre$f(x)\geq 0$ tenemos $g(x)\geq 0$. El reclamo es$Ker(f)=Ker(g)$ y $f=\alpha g$ para algunos $\alpha > 0.$

Mi pensamiento :

Cada funcional lineal desde $V$ a $\mathbb{R}$ es de la forma $f(x)=\sum_{i=1}^{n} a_ix_i$ y $g(x)=\sum_{i=1}^{n} b_ix_i$ dónde $x=\sum_{i=1}^{n} x_ie_i$.
Para concluir$Ker(f)=Ker(g)$.
$f(x)=0$ $\implies g(x) \geq 0.$ Ahora si $g(x)=0$luego nada que mostrar. Si$g(x) > 0$ entonces considerando $g(x)-f(x)=g(x)$ obtenemos $$\sum_{i=1}^{n}(b_i-a_i)x_i=\sum_{i=1}^{n}b_ix_i$$ No podemos concluir de aquí que $b_i-a_i=a_i$ para todos $1\leq i\leq n$. ¿Correcto? Si no, entonces podemos llegar a una contradicción que$f$ es $0$.

Una observación :

Si $(g(x) \geq 0$ y $f(x)<0)$ luego $f(-x)>0\implies g(-x)\geq 0 \implies g(x)=0. $

Por tanto, si $g(x) >0$ luego $f(x) \geq 0.$

Answer 1

Supongamos por el contrario que existe $x\in\ker(f)$ tal que $x\not\in\ker(g)$. Ahora$f(x)=0$, entonces debemos tener $g(x)\ge0$, o más precisamente $g(x)>0$ como hemos asumido $g(x)\ne0$. Pero entonces$g(-x)=-g(x)<0$. A pesar de que$f(-x)=0$. Esto contradice nuestra condición. Entonces$\ker(f)\subseteq\ker(g)$.

Para probar la inclusión inversa, supongamos que existe $x\in\ker(g)$ tal que $x\not\in\ker(f)$. Ahora toma cualquier$y$ tal que $g(y)<0$. Tal$y$ debe existir, porque para cualquier $z$ con $g(z)>0$, $g(-z)<0$, y hemos asumido que $g$no es la función cero. Ahora deja$k>|f(y)|/|f(x)|$. Entonces sí$f(x)>0$, luego $f(y+kx)>0$, de lo contrario si $f(x)<0$, luego $f(y-kx)>0$. Pero$g(y+kx)=g(y-kx)=g(y)<0$. Por tanto contradice nuestra condición. Entonces$\ker(g)\subseteq\ker(f)$.

Tomar cualquiera $x\not\in\ker(g)$. Dejar$g(x)=r$. Dejar$y=r^{-1}x$. Luego$g(y)=1$. También deja$\alpha=f(y)$. No fue$f$ y $g$ son funcionales lineales distintos de cero, por lo que la dimensión de su imagen es $1$. Por teorema de nulidad de rango tenemos$V=\ker(g)+\mathrm{span}(y)$. Así que cualquiera$v\in V$ Se puede escribir como $v=z+ky$, dónde $z\in\ker(g)$ y $k\in\mathbb{R}$. Luego$$f(v)=f(z+ky)=f(z)+kf(y)\stackrel{(1)}{=}k\alpha=\alpha(g(z)+kg(y))=\alpha g(v)$$ dónde $(1)$ se sigue del hecho de que $z\in\ker(g)=\ker(f)$. Por lo tanto$f=\alpha g$.