Longitudes enteras en un triángulo

Question

Si$a,b,c$son las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, donde$a$es la hipotenusa, entonces es posible que$c$,$b$,$\sqrt{a^2-ac}$,$\sqrt{a^2-ab}$ser todos enteros? Derivé esto en otro problema de geometría, pero no sé cómo hacerlo.

Answer 1

Como$\sqrt{a^2-ac}$,$\sqrt{a^2-ab}$son enteros, obtenemos$a(b-c)\in\mathbb Z\implies b=c$o$a\in\mathbb Z$. Claramente,$b\neq c$y por lo tanto,$a\in\mathbb Z$. Como$\triangle ABC$es un triángulo rectángulo con lados enteros, obtenemos,$$a=m^2+n^2\qquad b=2mn\qquad c=m^2-n^2$$para algunos$m,n\in\mathbb N$. Dejar,$$C:=a(a-c)=(m^2+n^2)(2n^2)\qquad B:=a(a-b)=(m^2+n^2)(m-n)^2$$No fue$a(a-c)$y$a(a-b)$son cuadrados perfectos, debemos tener$2(m^2+n^2)$y$m^2+n^2$como cuadrados perfectos lo cual es absurdo. Por lo tanto, la hipótesis original es falsa.

Answer 2

COMENTARIO.-Si$a$entonces es irracional$a=a_1\sqrt n$entonces tenemos$\sqrt{a^2-ac}=d\in\mathbb N\Rightarrow a^2-ac=d^2$lo cual es imposible para$c$entero positivo (solo válido para$c=0$asi que$c$no puede ser un lado de un triángulo). En consecuencia, debe tener$(a,b,c)$es un triángulo pitagórico.

Pruebe ahora el problema con$a,b$y$c$números enteros