¿Los funcionales de distancia separan las medidas de probabilidad?

Question

Dejar $(\Omega,d)$ ser un espacio métrico compacto y $\mathcal P(\Omega)$su espacio de medidas de probabilidad de Borel. Dejar$D=\{ d_p\mid p\in\Omega\}$ dónde $d_p(x)=d(p,x)$ser el conjunto de todos los "funcionales de distancia". Como de costumbre, podemos pensar en$D$ actuando $\mathcal P(\Omega)$ (o viceversa) a través de la integración, es decir $\langle d_p,\mu\rangle = \int_\Omega d_p(x)\,\mathrm d\mu(x)$.

Pregunta de título

Hace $D$ actuando $\mathcal P(\Omega)$ a través de puntos separados de integración?

O equivalente,

Si $\mu,\nu \in \mathcal P(\Omega)$ y $\langle d_p,\mu\rangle = \langle d_p,\nu\rangle$ para todos $p\in \Omega$, entonces debe $\mu=\nu$?

Formulaciones alternativas

También hay algunas otras formas de formular la pregunta.

Formulación probabilística

Reescribiendo todas las integrales como expectativas, la pregunta se vuelve,

Si $\mathbb E_{X\sim\mu}[d_p(X)] = \mathbb E_{Y\sim\nu}[d_p(Y)]$ para todos $p\in \Omega$, entonces debe $\mu=\nu$?

En otras palabras, ¿conocer la distancia esperada a un punto para todos los puntos determina la medida?

Formulación geométrica

Recuerde que la distancia 1-Wasserstein está dada por $W_1(\mu,\nu) = \inf_{\gamma\in\Gamma(\mu,\nu)} \int_{\Omega\times\Omega} d(x,y) \,\mathrm d\gamma(x,y)$ dónde $\Gamma(\mu,\nu)$ es el conjunto de acoplamientos entre $\mu$ y $\nu$ es decir, medidas de probabilidad de Borel en $\Omega\times\Omega$ con marginales $\mu$ y $\nu$respectivamente. Dado que la medida del producto$\delta_p\otimes\mu$ es el acoplamiento único entre una medida delta de Dirac $\delta_p$ y $\mu$, tenemos eso

$$W_1(\delta_p,\mu)=\int_{\Omega\times\Omega} d(x,y)\,\mathrm d(\delta_p\otimes\mu)(x,y)=\int_\Omega d(p,y)\,\mathrm d\mu(y)=\langle d_p,\mu\rangle$$

Ahora la pregunta se puede plantear geométricamente como

Si $W_1(\delta_p,\mu)=W_1(\delta_p,\nu)$ para todos $p\in \Omega$, entonces debe $\mu=\nu$?

En otras palabras, conocer el $W_1$ distancia a los puntos extremos de $\mathcal P(\Omega)$ determinar completamente la medida de probabilidad?

Forumlación de Transformación Integral

Definir la transformación de distancia de$\mu\in\mathcal P(\Omega)$ como la función $\phi_\mu:\Omega\to\mathbb R$ dada por $\phi_\mu(p) = \int_\Omega d(p,x)\,\mathrm d\mu(x)$. La pregunta ahora se puede reformular como,

¿Es la transformación de distancia inyectiva en $\mathcal P(\Omega)$?

Además, por la formulación geométrica tenemos $\phi_\mu(p) = W_1(\delta_p,\mu)$. Usaremos los débiles$*$ topología para $\mathcal P(\Omega)$ (que coincide con el $W_1$topología). Desde el mapa$p\mapsto \delta_p$ es una incrustación de $\Omega$ dentro $\mathcal P(\Omega)$, resulta que $\phi_\mu:\Omega\to\mathbb R$es continuo. Denote la transformación de distancia por$\Phi(\mu)=\phi_\mu$. Ya que$\mathcal P(\Omega)$ es compacto Hausdorff y $C(\Omega)$ es Hausdorff, podemos reformular la pregunta como

Si $\Phi:\mathcal P(\Omega)\to C(\Omega)$ es continuo, es una incrustación?

Pensamientos finales

¿Alguna de estas afirmaciones equivalentes es verdadera? Desafortunadamente, solo he podido reformular la pregunta y no he identificado ninguna prueba clara, aunque no me sorprendería que haya una fácil que esté pasando por alto. La formulación geométrica del problema me lleva a creer que$D$ de hecho separa puntos en $\mathcal P(\Omega)$. Sin embargo, si la respuesta es afirmativa, siento las agradables propiedades resultantes de$\Phi$lo convertiría en algo fácil de buscar. Cualquier idea sería apreciada.

Actualización: a la luz del elegante contraejemplo de 4 puntos de George Lowther y la respuesta afirmativa de Pietro Majer para$\Omega=[0,1]$, sería interesante comprender mejor qué factores determinan si el espacio métrico subyacente arroja una respuesta afirmativa.

El contraejemplo de George puede extenderse a contraejemplos donde $\Omega$es una esfera (con métrica intrínseca). Por lo tanto, requiriendo$\Omega$ser de dimensión positiva, múltiple, conectado, conectado por un camino, conectado simplemente, etc., no hará que el problema desaparezca. Por otro lado, Pietro sospecha que la respuesta es nuevamente afirmativa en el caso en que$\Omega$ es un subconjunto convexo compacto del espacio euclidiano.

Answer 1

No. Supongamos que $\Omega$ consta de cuatro puntos dispuestos en un cuadrado, donde los puntos adyacentes tienen una distancia 1 entre ellos y los puntos opuestos tienen una distancia 2. Específicamente, si los puntos están etiquetados como A, B, C, D entonces \begin{align} & d(A,C)=d(B,D)=2,\\ & d(A,B)=d(B,C)=d(C,D)=d(D,A)=1. \end{align} Por ejemplo, A, B, C, D podrían estar igualmente espaciados alrededor de un círculo, usando la métrica del círculo interno.

Hay precisamente dos medidas de probabilidad que asignan probabilidad 1/2 a cada uno de los dos puntos opuestos y probabilidad cero a los dos puntos restantes. \begin{align} & \mu(\{A\})=\mu(\{C\}) = 1/2,\ \mu(\{B,D\})=0,\\ & \nu(\{B\})=\nu(\{D\})=1/2,\ \nu(\{A,C\})=0. \end{align}Puede comprobar que estas dos medidas dan la misma integral para todas las " funciones de distancia". La distancia promedio desde cada punto es igual a 1 en ambos.

Answer 2

En el lado positivo, la respuesta es afirmativa si $\Omega$ es el intervalo unitario $[0,1]$con su distancia estándar. En este caso$\phi_\mu$ es un convexo $1$-Función de Lipschitz (de hecho, también está definida para todos $p\in\mathbb{R}$, con $\phi'(p)=\mathrm{sgn} p$ para $p\notin[0,1]$), con derivadas izquierda y derecha $$\phi_-'(p)=\mu[0,p)-\mu[p,1]= 2\mu[0,p)-1$$ $$\phi_+'(p)=\mu[0,p] -\mu (p,1]= 2\mu[0,p] -1=1-2\mu(p,1]$$ de modo que $\mu$ se determina en todos los intervalos, por lo tanto, en todos los subconjuntos de Borel.

Por el contrario, tenga en cuenta que cualquier función convexa $\phi$como arriba
se puede escribir en la forma$\phi(p)=\int_{[0,1]}|t-p|dm(t)$ para alguna medida de probabilidad de Borel $m$ en $[0,1]$. Esto porque$g:= \frac{1}{2}\big(1-\phi_+'\big) $ es una función Cadlag acotada no negativa, por lo que hay una función de probabilidad de Borel $m$ tal que $g(p)=m(p,1]$, de donde $\phi(p)=\int_{[0,1]}|t-p|dm(t)$ se sigue fácilmente de las relaciones anteriores.

Supongo que la respuesta también es afirmativa para $\Omega$ un conjunto compacto convexo de $\mathbb{R}^n$ con la distancia euclidiana.