Mapa adecuado en $n$-esfera

Question

Las funciones adecuadas se definen sobre espacios topológicos.

Para funciones $f:\mathbb{R}^d\rightarrow \mathbb{R}^d$las condiciones "simplifican" para$\lim_{x\rightarrow \infty}|f(x)|=\infty$.

¿Son "simplificaciones" similares conocidas para funciones sobre la n-esfera? $S^{d}=\{x\in\mathbb{R}^{d+1} \mid \|x\|=1\}$, es decir, $f:S^{d}\rightarrow S^{d}$?

Answer 1

Una función $f$ desde $\mathbb{S}^d$ a sí mismo es propio si es continuo.

Tenga en cuenta que $\mathbb{S}^d$ es compacto, por lo que cada subconjunto cerrado es compacto y viceversa

• Continuo$\rightarrow$apropiado. Cada función continua$f:\mathbb{S}^d\to \mathbb{S}^d$ es apropiado, ya que $f^{-1}$ envía conjuntos cerrados (= compactos) a conjuntos cerrados (= compactos).

• Apropiado $\rightarrow$continuo. Cada función adecuada$f:\mathbb{S}^d\to \mathbb{S}^d$ es tal que $f^{-1}$envía conjuntos compactos (= cerrados) a conjuntos compactos (= cerrados). Esta es una de las posibles definiciones de continuidad.

El resultado es cierto en una forma más general: dado un espacio compacto de Hausdorff $X$, $f:X\to X$ es apropiado si es continuo,