¿Matriz de bloques con múltiples inversas?

Question

En este artículo de Wikipedia sobre matrices de bloques, hay dos expresiones para la inversa de una matriz de bloques. Estas dos expresiones dependen de la invertibilidad de una de las submatrices diagonales y del complemento de Schur de las otras.

Mi pregunta es, si se cumplen todas las condiciones de invertibilidad, a saber $\mathbf{A}$, $\mathbf{D}$, $\mathbf{D}-\mathbf{C}\mathbf{A}^{-1}\mathbf{B}$y $\mathbf{A}-\mathbf{B}\mathbf{D}^{-1}\mathbf{C}$ son todas invertibles, ¿son las dos expresiones equivalentes a la inversa?

Answer 1

Por supuesto, son equivalentes, ya que la inversa de una matriz cuadrada es única, pero también puede ver su igualdad como una variante de la identidad. $$ (I-XY)^{-1}=I+X(I-YX)^{-1}Y\tag{1} $$ dónde $X$ y $Y$ son dos matrices rectangulares cualesquiera tales que $I-XY$ y $I-YX$son invertibles. Si ha aprendido sobre el método de las identidades universales ,$(1)$ surge naturalmente de la expansión $(I-XY)^{-1}$ como una serie de poder formal \begin{aligned} (I-XY)^{-1} &=I+XY+XYXY+XYXYXY+\cdots\\ &=I+X(I+YX+YXYX+\cdots)Y\\ &=I+X(I-YX)^{-1}Y.\\ \end{aligned} También puedes probar $(1)$ directamente: \begin{aligned} &(I-XY)\left[I+X(I-YX)^{-1}Y\right]\\ &=I-XY+X(I-YX)^{-1}Y-XYX(I-YX)^{-1}Y\\ &=I-XY+X(I-YX)(I-YX)^{-1}Y\\ &=I-XY+XY\\ &=I. \end{aligned} En cualquier caso, si ponemos $X=BD^{-1}$ y $Y=CA^{-1}$ dentro $(1)$, obtenemos \begin{aligned} (I-BD^{-1}CA^{-1})^{-1}&=I+BD^{-1}(I-CA^{-1}BD^{-1})^{-1}CA^{-1},\\ A(A-BD^{-1}C)^{-1}&=I+B(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1},\\ (A-BD^{-1}C)^{-1}&=A^{-1}+A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1}.\\ \end{aligned}