¿Modificar la teoría del absorbedor de Feynman-Wheeler para trabajar con potenciales arbitrarios?
Estoy tratando de considerar la dinámica relativista de múltiples cuerpos en la relatividad especial. En la mecánica clásica, es fácil escribir un sencillo$n$-sistema corporal con potencial arbitrario $V$:
\ begin {ecuación} m \ ddot {x} _ i = \ sum_ j - \ nabla_ {x_ i} V (| x_ i-x_ j |). \ tag {1} \ label {1} \ end {ecuación} En relatividad especial, es tentador reemplazar esto con el potencial retardado, donde$x_ j$ se evalúa en el momento en que $c |\Delta t|=|x_ i-x_ j|$. Sin embargo, esto termina en soluciones que explotan con el tiempo . Quiero encontrar una acción para un sistema de 2 cuerpos que se reduzca a la ecuación \ ref {1} en el límite$v\ll c$, pero que también tiene leyes de conservación correctas y físicamente significativas.
Dado que todo esto está dentro del ámbito de la reacción de radiación, me imagino que un punto de partida seguro es considerar las cosas de un sistema de tipo Lagrangiano Feynman-Wheeler ( Electrodinámica clásica en términos de acción directa entre partículas ), ya que sus simetrías darán leyes de conservación bastante directamente ( aunque con cierta velocidad de retraso de la luz). Etiqueto las dos partículas$a$ y $b$y estoy trabajando con $c=1$, cargas unitarias y masas, firma $(- + + +)$y $t$un parámetro arbitrario que etiqueta las líneas del mundo. Entonces la acción es:
$$A=-\sum_{i=a,b}\int dt \sqrt{-\dot x_i^\mu \dot x_{i\mu}} - \iint \delta((x_a-x_b)^2) \dot x_a^\mu \dot x_{b\mu}dt_1 dt_2 \label{2}\tag{2}$$
Tenga en cuenta que $dt \sqrt{-\dot x_i^\mu \dot x_{i\mu}}$ realmente debería ser considerado como $\sqrt{-dx_i^\mu dx_{i\mu}}$, y que la integral doble realmente debería considerarse como $dx_a^\mu dx_{b\mu}$. Así que realmente somos invariantes en la reparametrización y realmente nos estamos integrando con respecto a las líneas del mundo. (También tenga en cuenta: "$x^2$"en la función delta significa $x^\mu x_\mu$.)
Es fácil ver que esto le da la fuerza de Coulomb: Partícula fija $b$ al origen para que $x_b^\mu(t)=(t,\vec{0})$. Entonces para$x_a^\mu(t)=(t,\vec{x}_a(t))$, encontramos $\dot x_a^\mu \dot x_{b\mu}=1$. Aplicar la identidad de la función delta$\delta(g(x))=\sum_{g(x_0)=0} \delta(x-x_0)/|g'(x_0)|$ e integrarse con respecto a $t_2$ Llegar
$$\iint \delta((x_a-x_b)^2) \dot x_a^\mu \dot x_{b\mu}dt_1 dt_2 =\int dt_1 \sum_{t_2=t_a,t_r}\frac{1}{|2(x_a^\mu-x_b^\mu) \dot x_{b\mu}|}=\int dt_1 \sum_{t_2=t_a,t_r}\frac{1}{|2\Delta t|}.\label{3}\tag{3}$$
$t_a$ y $t_r$ son los tiempos avanzados y retardados con $|\Delta t|=|\Delta x|$, así que sumando los dos obtenemos la acción de una sola partícula en un potencial de Coulomb $$\int dt_1 \frac{1}{|\Delta x|}$$
Entonces el término $|(x_a^\mu-x_b^\mu) \dot x_{b\mu}|$ convertido en una diferencia vectorial $|\Delta \vec{x}|$. Esto lleva a la idea: simplemente multiplique el término de interacción por términos como ese. El término de acción corregido podría verse así:
$$\iint F(|(x_a^\mu-x_b^\mu) \dot x_{b\mu} /\sqrt{- \dot x_b^\nu\dot x_{b\nu}}|) \delta((x_a-x_b)^2) \dot x_a^\mu \dot x_{b\mu}dt_1 dt_2. \label{4}\tag{4}$$
Si $F(x)=xV(x)$ y partícula $b$ se fija en el origen, esto da el límite correcto, y es covariante de Lorentz e invariante de reparametrización (eso es lo que $\sqrt{-\ldots}$ término es para), pero también favorece $x_a$ terminado $x_b$! Simetrizando con respecto a$a$ y $b$ también parece estar bien, porque para $|\frac{d}{dt} \vec{x}_a| \ll 1$ Nosotros deberíamos tener $\dot x_{a\mu} /\sqrt{- \dot x_a^\nu\dot x_{a\nu}}\approx (1,\vec{0})$, pero parece que debería haber una ruta más sencilla.
¿Alguien conoce una forma de hacer esto, o tiene mejores ideas sobre cómo modificar el término de interacción?
La covarianza de Lorentz y la invariancia de reparametrización imponen fuertes restricciones a la acción, por lo que tal vez no sea posible obtener una acción muy elegante con las propiedades deseadas.
Respuestas
Eche un vistazo al siguiente documento:
- Louis-Martinez, DJ (2006). Interacciones relativistas de acción a distancia no instantáneas . Physics Letters B, 632 (5-6), 733-739, doi: 10.1016 / j.physletb.2005.11.029 , arXiv: hep-th / 0510193 .
A partir de la acción de generalizar la interacción directa entre partículas de Feynman-Wheeler imponiendo condiciones de invariancia de Poincaré y requisitos adicionales de que los parámetros a lo largo de las líneas de mundo eran los tiempos adecuados de las partículas y que la masa debe ser una cantidad escalar, el autor pudo demostrar que la única La forma de potencial permitida por esas condiciones es la combinación del potencial de Coulomb y un potencial linealmente creciente: $V(r)=\alpha r + \beta/r$.