Muestra esa $(\Bbb Z/15\Bbb Z)^{\times}\simeq\Bbb Z/4\Bbb Z\times\Bbb Z/2\Bbb Z$
Muestra esa $(\Bbb Z/15\Bbb Z)^{\times}\simeq\Bbb Z/4\Bbb Z\times\Bbb Z/2\Bbb Z$, dónde $(\Bbb Z/15\Bbb Z)^{\times}$ es el grupo de enteros módulo $15$ bajo multiplicación.
Esta es una pregunta que involucra el primer teorema del isomorfismo, pero no sé cómo usarlo con un producto directo. Verifiqué si los grupos son cíclicos y también intenté encontrar funciones$f:\Bbb Z/4\Bbb Z\times\Bbb Z/2\Bbb Z\to(\Bbb Z/15\Bbb Z)^{\times}$pero eso no me llevó a ninguna parte. Si es posible, una pista ayudaría.
Respuestas
Nosotros siempre tenemos $$ (\Bbb Z/pq\Bbb Z)^{\times}\cong (\Bbb Z/p\Bbb Z)^{\times}\times (\Bbb Z/q\Bbb Z)^{\times}, $$ para primos $p$ y $q$ por el CRT (Teorema del resto chino).
Además tenemos $(\Bbb Z/p\Bbb Z)^{\times}\cong \Bbb Z/(p-1)\Bbb Z$.
Referencias:
$\mathbb Z_{mn}$ isomorfo a $\mathbb Z_m\times\mathbb Z_n$ cuando $m$ y $n$ son coprime
Es mi prueba de que $U_{pq}$ no es cíclico si $p$ y $q$ ¿Son correctos los primos impares distintos?