Muestra ese rango ( $A^{n+1}$) = rango ( $A^n$) [duplicar]

Question

Suponer $A$ es un $n \times n$ matriz es decir $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$, demuestra ese rango$A^{n+1}$) = rango ($A^n$). En otras palabras, necesito demostrar que sus espacios de rango o espacios nulos son iguales. Si ayuda$A$ es una matriz singular.

Tenga en cuenta que no quiero usar bloques de Jordan para probar esto. ¿Es posible probar esto sin usar la forma de Jordan? Puedo usar el teorema de triangularización de Schur. Además, no se sabe si A es diagonalizable.

Answer 1

$\newcommand{\rg}{\operatorname{range}}$ Obviamente para cada $m$, $\rg A^{m+1}\subset\rg A^{m}$, Así que si $d_m=\dim\rg A^m$, $d_{m+1}\le d_m$. Si$d_{m+1}=d_m$ para algunos $m$, entonces $\rg A^{m+1}=\rg A^{m}$ y por lo tanto $\rg A^m=\rg A^{m+1}=\rg A^{m+2}=\dotsb{}$. Es decir, la secuencia$d_0,d_1,\dots$se vuelve constante una vez que deja de descender.
Porque$d_0= n$, la secuencia debe dejar de descender dentro $n$ condiciones.

Editar: para el problema que expresó en el comentario, $\rg A^{m+1}=\{AA^{m}y:y\in \mathbb C^n\}=\{Ax:x=A^my\in\rg A^m\}=\{Ax:x\in\rg A^m\}$,
Por lo tanto$\rg A^{m}=\rg A^{m+1}\implies$
$\rg A^{m+1}=\{Ax:x\in\rg A^m\}=\{Ax:x\in\rg A^{m+1}\}=\rg A^{m+2}$.

Answer 2

Insinuación

Puedes probar eso por $k \ge 0$ $$\mathrm{rank}(A^{k+2}) - \mathrm{rank}(A^{k+1}) \le \mathrm{rank}(A^{k+1}) - \mathrm{rank}(A^{k})$$

Por lo tanto, $$\mathrm{rank}(A^{n+1}) < \mathrm{rank}(A^{n})$$ implicaría la contradicción $\mathrm{rank}(A) \gt n$.

Answer 3

Todo depende de $n$. Así que este es un buen caso para la inducción completa sobre n.

n = 1: A = real o complejo y distinto de cero. $Rank(A)=1=Rank(A^{n=1})=n=1=rank(a^2)=rank(A^2)=rank(A^{n+1})$

Xa $n$ natural la hipótesis es $true$.

Xa $n+1$ Un cambio exactamente en una fila o columna del caso $n$. Esta fila o columna puede ser cualquiera, pero no lineal, dependiente de la otra que forma la A para$n$. Implica implícitamente que al menos un elemento en la columna o fila es distinto de cero exactamente en la dimensión agregada a A para$n$.

Ahora podemos usar algunas de las definiciones equivalentes para el $rank$de una matriz cuadrada. Con restricción a la generalidad, la fila o columna agregada tiene solo un elemento distinto de cero. Esto actúa como un factor por ejemplo en el desarrollo determinado o es un nuevo valor propio o la matriz A para$n+1$. Entonces, el determinante es distinto de cero al menos en ese desarrollo porque tenemos un valor distinto de cero y el conocimiento de que el determinante de nuestra A para$n$ es distinto de cero y $rank(A)=n$.

La idea principal para el paso de inducción es un anillo de rango de matrices o un rango de conservación mediante la multiplicación de una matriz no singular en general a$A$en sí mismo especialmente. Matrices con distinto de cero$rank$preservar el rango bajo multiplicación. La multiplicación en consideración es conmutativa porque solo multiplicamos A. Ese es otro indicador de nuestras hipótesis para$n+1$. Los valores propios y la descomposición de Schur están estrechamente relacionados. Una de las matrices en la descomposición de Schur es una matriz de triángulo superior. Entonces, aumentando la dimensión de$n$ a $n+1$ simplemente agrega otro último si la última fila y columna en un vector de unión con solo un valor en la nueva dimensión.

La descomposición de Schur es equivalente a que la matriz $𝐴∈ℂ^{𝑛+1×𝑛+1}$ tiene la propiedad que depende de la matriz $𝐴∈ℂ^{𝑛×𝑛}$. La matriz de$rank$ de un grupo y pueden transformarse entre sí bajo la conservación de la $rank$. Y la prueba está hecha.