Múltiples explosiones

Question

Supongamos que considero, por dentro $\mathbb{P}^6$, las subvariedades $Y=V(x_2,\ldots,x_6)\simeq \mathbb{P}^1$ y $Z=V(x_0,\ldots,x_3)\simeq \mathbb{P}^2 $.

Quiero entender que es la explosión de $\mathbb{P}^6$ a lo largo $Y,Z$. Siguiendo el libro de Geometría algebraica de Harris, comencé desde$Bl_Y(\mathbb{P}^6)$: el ideal de $Y$ es $I(Y)=(x_2,\ldots,x_6)$, y por lo tanto tengo un mapa racional

$$\phi:\mathbb{P}^6 \dashrightarrow \mathbb{P}^4, p\mapsto [p_2:\ldots:p_6]$$ y $Bl_Y(\mathbb{P}^6)\subset \mathbb{P}^6\times\mathbb{P}^4$ es la variedad cerrada asociada al gráfico de $\phi$.

Ahora me gustaría explotar $\mathbb{P}^6$ a lo largo $Z$, así que supongo que necesito estudiar

$$Bl_Z(Bl_Y(\mathbb{P}^6))$$

y aquí tengo varias preguntas:

• $Bl_Z(Bl_Y(\mathbb{P}^6))\subset \mathbb{P}^6\times \mathbb{P}^4 \times \mathbb{P}^3$? Supongo que sí, ya que estoy repitiendo el procedimiento anterior, así que me preguntaba si una secuencia de$n$-los estallidos, por ejemplo, viven en un producto cartesiano de $n+1$-espacios proyectivos (aunque obviamente puedo incrustarlos a través de un mapa Segre);
• ¿Puedo volar simultáneamente? $\mathbb{P}^6$ a lo largo $Y,Z$? ¿Obtengo la misma construcción?
• (Vinculado a la pregunta anterior): ¿qué sucede si $Y\cap Z \neq \emptyset$?

Answer 1

1. Sí, puede hacer esto, siempre que explote algo (localmente) cortado por $d$ ecuaciones dentro $X$, puede incrustar su ampliación en el producto $X\times\Bbb P^{d-1}$. Esto se desprende de la descripción de la explosión como un proyecto relativo:$Bl_ZX=\underline{\operatorname{Proj}} \bigoplus \mathcal{I}_Z^n$y localmente en $X$ tenemos una sobreyección $\mathcal{O}_X[t_1,\cdots,t_d]\to \bigoplus \mathcal{I}_Z^n$ que (después de pegar) corresponde a una inmersión cerrada $Bl_ZX\hookrightarrow \Bbb P^{d-1}_X$.
2. Si si $Y,Z$ son dos subesquemas cerrados inconexos y luego todas las ampliaciones $Bl_Y(Bl_Z X)$, $Bl_Z(Bl_Y X)$ y $Bl_{Y\cup Z} X$son lo mismo. Esto se puede verificar localmente, ya que las explosiones son isomorfismos de lo que explotas.
3. Resulta que parte de nuestra conclusión de 2 se cumple una vez que generalizamos adecuadamente: $Bl_{\pi^{-1}(Y)}(Bl_Z X) \cong Bl_{\pi^{-1}(Z)}(Bl_Y X)$(este es el Lema IV-41 en The Geometry of Schemes de Eisenbud y Harris ). Tenga en cuenta que esta es la transformación total, no la transformación estricta; las transformaciones estrictas son sensibles al orden. Si esto es igual o no a$Bl_{Y\cup Z}(X)$ probablemente debería depender de cómo $Y$ y $Z$ se cruzan, pero no tengo ejemplos instructivos a mano en este momento, y básicamente toda la teoría general para la resolución de singularidades se desarrolla asumiendo una explosión a lo largo de un centro liso, lo que lo vuelve a colocar en la situación de 2.