Multiplicidad de conjugados complejos de autovalores complejos repetidos

Aug 19 2020

Sé que para una matriz de valores reales, los valores propios complejos vienen en pares conjugados complejos. Sin embargo, me pregunto qué sucede con los autovalores complejos repetidos (es decir, los autovalores complejos con multiplicidad mayor que 1). En ese caso, ¿el complejo conjugado del valor propio complejo repetido tiene la misma multiplicidad que ese valor propio? Si esa afirmación es válida, ¿cómo podemos demostrar que es verdad?

Respuestas

BenGrossmann Aug 19 2020 at 15:38

De hecho, encontramos que si una matriz real $A$ tiene un valor propio complejo $\lambda$, entonces el valor propio conjugado $\bar \lambda$tiene la misma multiplicidad algebraica y geométrica. De hecho, podemos decir un poco más:$$ (A - \lambda I)|_{\ker(A - \lambda I)} = (A - \bar \lambda I)|_{\ker(A - \bar \lambda I)}, $$lo que quiere decir que todas las estructuras asociadas con los valores propios son iguales. Es decir, la forma Jordan de$A$ tiene el mismo número y tamaño de bloques para $\lambda$ y $\bar \lambda$.

En cuanto a probar multiplicidades, tenemos lo siguiente: la multiplicidad algebraica es la multiplicidad de la raíz $\lambda$ en el polinomio característico $p(x) = \det(xI - A)$. Como ocurre con cualquier polinomio con coeficientes reales, la multiplicidad de la raíz$\lambda$ ¿Es esto lo mismo que la multiplicidad de la raíz? $\bar \lambda$.

Para la multiplicidad geométrica, un enfoque es el siguiente: observamos que las matrices satisfacen $\overline{A B} = \bar A \bar B$. De ello se deduce que si$v$ es un vector propio (complejo) asociado con el valor propio $\lambda$, entonces tenemos $$ Av = \lambda v \implies \overline{Av} = \overline{\lambda v} \implies A \bar v = \bar \lambda \bar v. $$ En otras palabras, el mapa $v \mapsto \bar v$ es un invertible $\Bbb R$-mapa lineal entre los espacios propios de $A$ asociado con $\lambda$ y $\bar \lambda$. De ello se deduce que estos espacios tienen la misma dimensión.