Número de extensiones cuadráticas no ramificadas de un campo numérico

Question

¿Existe una fórmula general para el número de extensiones cuadráticas no ramificadas de un campo numérico? $K$?

Cuando $K$ es cuadrática, esto se sabe (por la teoría del género) que es $2^{\omega(\Delta_K)-1}$, dónde $\omega(n)$ denota el número de factores primos distintos de $n$ y $\Delta_K$ es el discriminante de $K$. Me interesan los resultados para cuando$K$ es de grado superior.

Parece que este problema podría ser mucho más difícil y tal vez sea adyacente a la comprensión de las dos torsiones del grupo de clase. $\text{Cl}_K$(que parece difícil cuando$K$no es cuadrático), pero soy bastante nuevo en el área y podría estar totalmente fuera de lugar. ¿Existe alguna esperanza de un enfoque más directo?

Answer 1

La respuesta parece ser no.

1. El número de extensiones cuadráticas no ramificadas de $K$ es igual al número de subgrupos de índice dos del grupo de clase ideal $\text{Cl}_K$ por la teoría del campo de clases.
2. El índice-dos subgrupos de $\text{Cl}_K$ corresponden a los elementos distintos de cero de $\text{Hom}(\text{Cl}_K, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$.
3. $\#\text{Hom}(\text{Cl}_K, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) = \#\text{Cl}_K[2]$ por la dualidad de Pontryagin, como me lo señalaron @RP_ y @abx en los comentarios.
4. El problema de calcular (o incluso delimitar) el tamaño de $\#\text{Cl}_K[2]$ cuando $K$no es una extensión cuadrática parece estar bajo estudio activo y parece ser un problema desafiante en general.