Número de matrices con valor determinante $0$
UN $3 \times 3$ La matriz se forma utilizando los elementos del conjunto. $\{-1,0,1\}$. Cuántas matrices tendrán un valor determinante$0$.
Sea la matriz \ begin {bmatrix} p & q & r \\ x & y & z \\ a & b & c \ end {bmatrix} Así que el total de matrices formadas será$3^9$ y el determinante está dado por $\Delta=pyc+rxb+qza-rya-qxc-pzb$
Haciendo algunas combinaciones deduje que el valor determinante pasará de $-4$ a $4$ pero ¿qué enfoque debo seguir para obtener un número de determinantes que tengan valor? $0$?
Respuestas
¡Pregunta divertida! Empezaremos reduciendo el determinante$\bmod 3$. Las matrices de determinante$\pm 1 \bmod 3$ son exactamente las matrices que, interpretadas como teniendo entradas en el campo finito $\mathbb{F}_3 = \{ 0, \pm 1 \}$, son invertibles, por lo que hay
$$|GL_3(\mathbb{F}_3)| = (3^3 - 1)(3^3 - 3)(3^3 - 3^2) = 11232$$
de ellos, y por lo tanto hay
$$|M_3(\mathbb{F}_3)| - |GL_3(\mathbb{F}_3)| = 3^9 - |GL_3(\mathbb{F}_3)| = 8451$$
matrices con determinante $0 \bmod 3$ (que está de acuerdo con el recuento de JG en los comentarios: $7875 + 2 \cdot 288$). Entonces (suponiendo que tenga razón en que el determinante está en$[-4, 4]$, No he comprobado esto) hemos reducido el problema a contar el conjunto $S$ de matrices con determinante $\pm 3$.
Dejar $H$ser el grupo hiperoctaédrico $C_2 \wr S_3$ de $3 \times 3$ matrices de permutación firmadas. $|H| = 48$ y $H$ actúa libremente desde la izquierda o la derecha en $S$ (porque $S$ consta de matrices invertibles sobre $\mathbb{Q}$), por lo que ya podemos mostrar que $48$ divide $|S|$. Explícitamente, permitiendo$H$ actuar por la izquierda equivale a darnos la libertad de permutar las filas y multiplicar cualquiera de ellas por $-1$, y de manera similar permitiendo $H$ actuar de la manera correcta equivale a darnos la libertad de permutar las columnas y multiplicar cualquiera de ellas por $-1$. El resto del argumento procederá de la siguiente manera:
Identificar las clases de equivalencia bajo la acción de $G = H \times H$, con $H$ actuando tanto a la derecha como a la izquierda, encontrando una forma canónica para las matrices en cada clase de equivalencia.
Calcule el tamaño de la órbita de cada forma canónica calculando el tamaño de su estabilizador.
Lema 1: una matriz$X \in S$ puede tener como máximo uno $0$ en cualquier fila o columna.
Prueba. Si alguna fila o columna contiene dos$0$s entonces la expansión de Laplace a lo largo de esa fila o columna da que el determinante es como máximo $2$ en valor absoluto. $\Box$
Lema 2: una matriz$X \in S$ puede tener como máximo una fila sin $0$s, y de manera similar para columnas. Por lo tanto$X$ tiene al menos dos $0$s.
Prueba. $\det(X) \equiv 1 \bmod 2$, entonces las filas y columnas de $X$ debe ser linealmente independiente $\bmod 2$, y en particular distinto. $\Box$
Lema 3: una matriz$X \in S$ debe tener exactamente dos $0$s.
Prueba. Si tiene$3$ o más, entonces deben estar en filas o columnas distintas según el Lema 1, y luego la expansión de Laplace muestra que el determinante es como máximo $2$ en valor absoluto. $\Box$
Ahora se deduce que una columna debe tener la forma $(\pm 1, \pm 1, \pm 1)$ y los otros dos deben ser permutaciones de $(\pm 1, \pm 1, 0)$ donde el $0$s están en lugares distintos, y de manera similar para las filas (los signos no son necesariamente los mismos aquí y debajo). Permutando filas y columnas y cambiando sus signos, podemos reducir a una matriz de la forma
$$X = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & \pm 1 & 1 \\ 0 & 1 & \pm 1 \end{array} \right]$$
y ahora solo quedan $4$casos para comprobar los determinantes. Exactamente uno de ellos funciona, y obtenemos que hay una sola órbita, generada por
$$X = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right].$$
En este punto, sabemos no solo que $48$ divide $|S|$ pero eso $|S|$ divide $|G| = |H \times H| = 48^2$. Queda por calcular el tamaño del estabilizador$G_X$ de esta matriz bajo la acción de $H \times H$y luego tendremos eso $|S| = \frac{|G|}{|G_X|} = \frac{48^2}{|G_X|}$(por el teorema del estabilizador de órbita ).
Podemos calcular este estabilizador de la siguiente manera. Primero, ignoremos los signos y solo consideremos el efecto de permutar columnas y filas. La segunda fila y columna son únicas porque son las únicas que contienen tres entradas distintas de cero, por lo que solo podemos intercambiar la primera y la tercera fila, y la primera y la tercera columna, y luego no es difícil ver que la única permutación que funciona es intercambiar simultáneamente la primera y tercera fila y la primera y tercera columna; en otras palabras, conjugar por la permutación$(13)$.
A continuación, consideremos el efecto de los signos. Al conjugar por$(13)$si es necesario, podemos suponer que estamos considerando solo el efecto de un montón de cambios de signo. Para preservar$X$cada entrada debe invertirse un número par de veces, y analizando lo que eso implica sobre qué filas y columnas pueden tener sus signos invertidos, obtenemos que cada fila y cada columna deben tener su signo invertido el mismo número de veces. El elemento de no identidad único que hace esto cambia el signo de cada fila y cada columna simultáneamente; este es el elemento central$(-1, -1) \in H \times H$.
De ello se deduce que el estabilizador es $C_2 \times C_2$ y de ahí que
$$|S| = \frac{|H \times H|}{|C_2 \times C_2|} = \frac{48^2}{2^2} = 24^2 = 576$$
que concuerda con las respuestas generadas por Python en los comentarios. O mejor dicho, estrictamente hablando, se suponía que debíamos calcular el número de matrices con determinante$0$, cual es
$$8451 - 576 = \boxed{ 7875 }.$$
Probablemente sea posible un enfoque algo más geométrico; nótese que el problema se puede interpretar como si se tratara de volúmenes de ciertos tetraedros hechos de puntos reticulares en$\mathbb{Z}^3$ con entradas en $\{ 0, \pm 1 \}$, que forman un $3 \times 3 \times 3$ cubo.
El problema nos pide que contemos el número de tetraedros degenerados con el centro como vértice (y un orden del otro $3$ vértices) y redujimos el problema en el primer paso para contar tetraedros con volumen $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$(o algo así). El grupo hiperoctaédrico$H$ luego aparece naturalmente como el grupo de simetría de este cubo, aunque es un poco menos claro cómo ver la acción de la segunda copia de $H$.
Perdóname por escribir una segunda respuesta, pero Math.SE se retrasa mucho cuando intentas hacer una sola respuesta demasiado larga.
De hecho, podemos resolver el problema contando puntos de celosía. Dejar$C = \{ -1, 0, 1 \}^3 \subsetneq \mathbb{Z}^3$sea el cubo que mencioné; queremos contar el número de triples de puntos ordenados$v_1, v_2, v_3$ en $C$, no necesariamente distintos, que son linealmente dependientes (más $\mathbb{R}$ o equivalente $\mathbb{Z}$), o equivalentemente tal que $\dim \text{span}(v_1, v_2, v_3) \le 2$. Haremos esto considerando cada posible dimensión del tramo por turno.
Dimensión 0: esto es fácil,$v_1 = v_2 = v_3 = 0$ es la única posibilidad así que hay $\boxed{1}$ triple en este caso.
Dimensión 1: cada línea que pasa por el origen y un punto distinto de cero en$C$ pasa exactamente por dos puntos distintos de cero, algún punto $v$ y es negativo $-v$, entonces hay $\frac{3^3 - 1}{2} = 13$tales líneas. (Tenga en cuenta que esto coincide con el número de puntos en el plano proyectivo$|\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_3)| = 1 + 3 + 3^2$ como se esperaba.)
Entre el $3$ puntos $\{ -v, 0, v \}$ en tal línea hay $3^3$ triples de puntos y el único que no atraviesa la línea es $0, 0, 0$, entonces hay $3^3 - 1 = 26$ triples que atraviesan la línea, dando
$$13 \cdot 26 = \boxed{338}$$
triplica en la dimensión $1$ caso.
Dimensión 2: esta es la más difícil. Me perdí algunos casos aquí durante bastante tiempo. Resulta que hay$25$ diferentes planos (pasando por el origen) abarcados por los puntos de $C$ (Pensé que había $13$ por horas, luego $21$brevemente). Mi error fue suponer que cada plano que pasaba por los puntos de$C$ podría describirse como el plano normal a otro vector en $C$ (esto es solo verdad $\bmod 3$). Solo diré cómo va por ahora: hay
- $9$ aviones que pasan $9$ puntos (incluido el origen), dispuestos en un cuadrado o rectángulo,
- $4$ aviones que pasan $7$ puntos, dispuestos en un hexágono, y
- $12$ aviones que pasan $5$ puntos, dispuestos en rombo (estos son los que me perdí).
Entre el $n$ puntos en un plano hay $n^3$ triples y los que abarcan el plano son los que tampoco $0, 0, 0$ o los que abarcan uno de los $\frac{n-1}{2}$líneas. Como en el recuento anterior, para cada línea hay$26$ triples de puntos que lo atraviesan, por lo que en total hay
$$n^3 - 13(n-1) - 1$$
triples de puntos que abarcan un $n$-punto plano. Esto da
$$9 \cdot 624 + 4 \cdot 264 + 12 \cdot 72 = \boxed{7536}$$
se triplica en el caso de la dimensión 2, y por lo tanto
$$1 + 338 + 7536 = \boxed{7875}$$
triplica en total, de acuerdo con mi otra respuesta y los scripts de Python (aunque por Dios, tomó un tiempo).