número de paréntesis vs número de cobertura

Question

Solo quiero verificar dos veces si el lema en la página 9 de estas diapositivas es correcto:http://www.math.leidenuniv.nl/~avdvaart/talks/09hilversum.pdf

Lema:$N(\epsilon,\cal F,||\cdot||)\leq N_{[]}(2\epsilon,\cal F,||\cdot||). $

prueba: si$f$está en el$2\epsilon$-soporte$[l,u]$, entonces está en la bola de radio$\epsilon$alrededor$(l+u)/2$.

Creo que lo que significa la prueba es que, si un conjunto de$2\epsilon$-cubiertas de soportes$\cal F$, entonces este conjunto es también un conjunto de bolas de radio$\epsilon$que puede cubrir$\cal F$. Dado que puede haber otros conjuntos de bolas de radio$\epsilon$que puede cubrir$\cal F$, el número de cobertura no es mayor que el número de paréntesis.

No he encontrado la misma conclusión en ningún libro de texto que pueda encontrar hasta ahora (no estoy seguro de si es porque esta conclusión es demasiado trivial), por lo que no estoy seguro de decir si es correcto o incorrecto. Agradecería mucho si alguien me puede iluminar!!

Answer 1

Su elaboración es esencialmente correcta, excepto que los corchetes en sí mismos no lo son.$\|\cdot\|$-pelotas.

Si$[l,u]$es un$2\epsilon$-soporte, entonces está contenido en el$\|\cdot\|$-bola de radio$\epsilon$centrado en$(l+u)/2$, ya que$l \le f \le u$implica$$\|f - (l+u)/2\| \le \frac{1}{2} \|f-l\| + \frac{1}{2} \|f - u\| \le \|u-l\| = \epsilon.$$

Así una cubierta de$2\epsilon$-los soportes se pueden sustituir por una tapa de mayor tamaño$\epsilon$-$\|\cdot\|$-Bolas de la misma cardinalidad.