Objeto compacto y generador compacto en una categoría

Question

Encontré dos definiciones de objeto compacto.

( Lurie, Jacob (2009), Teoría del topos superior, p . 392 )$\mathcal{C}$ser una categoría que admita colimits filtrados. Un objeto$C \in \mathcal{C}$se dice que es compacto si el functor corepresentable$$ \operatorname{Hom}_{e}(C, \bullet) $$ conmuta con colimits filtrados.

( Categorías Abelianas, Daniel Murfet, Definición 18 )$\mathcal{C}$ ser una categoría y $A$ un objeto de $\mathcal{C}$. Nosotros decimos eso$A$es compacto (oa veces pequeño) si siempre que tenemos un morfismo$u: A \longrightarrow \bigoplus_{i \in I} A_{i}$ desde $A$ en un coproducto no vacío, hay un subconjunto finito no vacío $J \subseteq I$ y una factorización de $u$ de la siguiente forma $$ A \longrightarrow \bigoplus_{j \in J} A_{j} \longrightarrow \bigoplus_{i \in I} A_{i}. $$

No sé cómo demostrar que son equivalentes, ¿podrían ayudarme?

Además, tenemos la definición del generador de una categoría abeliana.

( GENERADORES VERSUS GENERADORES PROYECTIVOS CATEGORÍAS INABELIANAS, CHARLES PAQUETTE, p.1 )$\mathcal{A}$ser una categoría abeliana. Un objeto$M$ de $\mathcal{A}$ es un generador de $\mathcal{A}$ si por cualquier objeto $X$ de $\mathcal{A}$, tenemos un epimorfismo $\bigoplus_{i\in I} M\to X$ dónde $I$ es un conjunto de índices.

Entonces, ¿cuál debería ser el generador compacto? ¿Es un generador tal que hay una factorización de la siguiente forma?$$ \bigoplus_{i\in I} M \to \bigoplus_{i\in J} M \to X. $$ (¿todas las flechas están invertidas?)

¡Muchas gracias!

Answer 1

No son equivalentes. Por ejemplo, los objetos compactos de Lurie en una categoría de$R$-los módulos son los mismos que los módulos finamente presentables. (Lo mismo es cierto para cualquier categoría de álgebras para una teoría de Lawvere, es decir, una teoría algebraica cuyas operaciones son finitarias, sujetas a axiomas de ecuaciones cuantificados universalmente). Por otro lado, los objetos compactos de Murfet en una categoría de$R$-los módulos no necesitan ser generados ni siquiera finitamente (aunque lo serán si $R$es noetheriano). Hubo una discusión bastante larga sobre esto aquí: objetos "Sums-compact" = objetos fg en categorías de módulos?

Las diferentes comunidades a veces usan el mismo término de manera diferente. El término 'compacto' es en cierto modo sugerente, pero no creo que esté optimizado.

Answer 2

Parte del problema de este círculo de ideas es que varias definiciones no son equivalentes en generalidad completa, sino que se vuelven equivalentes con hipótesis adicionales. Por ejemplo, un resultado básico sobre objetos compactos es la siguiente caracterización de categorías de módulos, que entre otras cosas proporciona una caracterización de equivalencias de Morita.

Teorema (Gabriel): una categoría abeliana cocompleta$C$ es equivalente a la categoría $\text{Mod}(R)$ de módulos sobre un anillo $R$ si admite un generador proyectivo compacto $P$ tal que $\text{End}(P) \cong R$.

Tanto "compacto" como "generador" en el enunciado de este teorema son individualmente ambiguos. "Compacto" podría significar tanto Lurie-compact o Murfet-compact, y "generador" puede tener algo así como ~ 7 significados diferentes, quizás ~ 3 de los cuales son de uso común (?); vea Generadores y cierres colimit de Mike Shulman (que discute 5 posibles definiciones) y mi publicación de blog Generadores (que discute 6 posibles definiciones, 4 de las cuales se superponen con las de Mike) para una discusión.

El hecho feliz es que, sin embargo, el significado de "proyectivo compacto" y de "generador proyectivo compacto" en el enunciado del teorema de Gabriel es inequívoco:

• en una categoría abeliana cocompleta, "proyectiva compacta", que utiliza la compacidad de Lurie o la compacidad de Murfet, es equivalente a la condición de que $\text{Hom}(P, -) : C \to \text{Ab}$conmuta con todos los colimits (pequeños) (esta condición también se conoce como minúscula ; consulte la publicación de mi blog Tiny objects para una discusión), y
• para objetos proyectivos compactos en una categoría abeliana cocompleta, casi todas las definiciones de "generador" de las que soy consciente colapsan y se vuelven equivalentes. Me limitaré a nombrar dos: el más débil es que cada objeto distinto de cero admite un mapa distinto de cero de$P$ (que llamo "generador débil"; olvido si este nombre es estándar), y el más fuerte es que cada objeto se puede escribir como el coequalizador de un par de mapas entre coproductos de copias de $P$ (que yo llamo "generador de presentación"; esto no es estándar. En una categoría abeliana, los coequalizadores pueden ser reemplazados con cokernels, pero esta definición se generaliza muy bien a categorías algebraicas como grupos y anillos).

Existe el matiz adicional de que en un estable $\infty$-En un entorno categorial como el que trabaja Lurie parece que uno puede dejar de proyectar pero no estoy seguro de cuáles son las declaraciones precisas. Por ejemplo, creo que hay un establo$\infty$-análogo categórico del teorema de Gabriel que caracteriza categorías de módulos sobre $E_1$ espectros de anillo y creo que analógico implica generadores compactos.

De todos modos, por lo que vale, abogaría por la compacidad de Lurie como el significado "predeterminado" de compacidad. La compacidad de Murfet es bastante específica del entorno abeliano, pero la compacidad de Lurie es agradable en muchos entornos; por ejemplo, en la categoría de modelos de una teoría de Lawvere (grupos, anillos, etc.) un objeto es Lurie-compact si se presenta de manera finita. Ya esto implica el hecho no del todo obvio de que para los módulos que se presentan de forma finita es invariante de Morita.

Answer 3

Solo para agregar un poco de contexto a la respuesta de Todd, creo que la razón de esta confusión es que el uso original de "compacto", para espacios topológicos, se puede generalizar de diferentes maneras.

En primer lugar, en un poset, las dos definiciones de compacto coinciden. Si$C$ es Lurie-compact, luego un coproducto $\sum_i A_i$ es el colimito filtrado de coproductos de subfamilias finitas de la $A_i$, por lo que la suposición implica que cualquier mapa de $C$ dentro $\sum_i A_i$factores a través de algún coproducto finito. (De hecho, esta dirección no requiere que la categoría sea un poset.) En la otra dirección, si$C$ es Murfet-compact, entonces todos los colimits en un poset son coproductos equivalentes, por lo que cualquier mapa de $C$ en un colimit filtrado factores a través de un sub-colimit finito, y por el filtrado que factoriza a través de un solo objeto.

En segundo lugar, un espacio topológico $X$ es compacto, en el sentido tradicional, si y solo si el elemento superior de su poset $\mathcal{O}(X)$de subconjuntos abiertos es compacto en cualquiera de estos sentidos categóricos. Entonces, la diferencia radica en generalizar este significado de "compacto" a los no posets de diferentes maneras. (Desafortunadamente, los espacios topológicos compactos no son, en general, ni Lurie-compact ni Murfet-compact en la categoría de espacios topológicos).