obteniendo una expresión simplificada para el coeficiente de$x^n$

Question

Estaba tratando de encontrar el coeficiente de$x^n$en la expansión de$(1+x)^{-2}(1-2x)^{-2},$denotado$[x^n]\{(1+x)^{-2}(1-2x)^{-2}\}$. Usando el teorema del binomio negativo, sé que es igual a$$ \begin{split} \sum_{j=0}^n &([x^j](1+x)^{-2})([x^{n-j}](1-2x)^{-2}) \\ &= \sum_{j=0}^n {j+1\choose 1}(-1)^j{n-j+1\choose 1}2^{n-j} \\ &= \sum_{j=0}^n (j+1)(n-j+1)(-1)^j2^{n-j}. \end{split} $$

Sin embargo, me preguntaba si había una manera de simplificar aún más esta expresión.

Answer 1

Como sugiere @AnginaSeng, puede aplicar la descomposición en fracciones parciales:\begin{align} \frac{1}{(1+x)^2(1-2x)^2} &=\frac{1/9}{(1+x)^2}+\frac{4/27}{1+x}+\frac{4/9}{(1-2x)^2}+\frac{8/27}{1-2x}\\ &=\frac{1}{9}\sum_{n \ge 0}\binom{n+1}{1}(-x)^n+\frac{4}{27}\sum_{n\ge 0} (-x)^n+\frac{4}{9}\sum_{n \ge 0} \binom{n+1}{1}(2x)^n+\frac{8}{27}\sum_{n\ge 0} (2x)^n\\ &=\sum_{n \ge 0}\left(\frac{1}{9}\binom{n+1}{1}(-1)^n+\frac{4}{27}(-1)^n+\frac{4}{9}\binom{n+1}{1}2^n+\frac{8}{27} 2^n\right) x^n\\ &=\sum_{n \ge 0}\left(\color{blue}{\frac{(3n+7)(-1)^n+(12n+20)2^n}{27}}\right) x^n \end{align}

Answer 2

Tal vez aquí hay una manera de empezar. podemos definir$$ f(x,y) = \sum_{j=0}^n (j+1)x^j (n-j+1) y^{n-j}, $$donde finalmente podemos querer saber$f(-1,2)$. Tenga en cuenta que esto es muy sugestivo de diferenciar una función mucho más simple. En otras palabras, integrar wrt$x$obtenemos$$ I_x(x,y) = \sum_{j=0}^n x^{j+1} (n-j+1) y^{n-j} + C(y) $$e integrando de nuevo wrt$y$ $$ I_{xy}(x,y) = \sum_{j=0}^n x^{j+1} y^{n-j+1} + \int C(y) dy + K(x). $$si dejamos$C(y) = 0 = K(x)$tenemos$I_{xy}(x,y)$que debería ser fácil de calcular a través de series geométricas rectas. Luego tome wrt parcial mixto$x$y entonces$y$(o al revés), y evaluar en$x=-1,y=2$.

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Quizás una forma más simple sea notar que$$ f(-1,2) = 2^n \sum_{j=0}^n (j+1) (n-j+1) (-2)^{-j} = A \sum_{j=0}^n 2^{-j} + B \sum_{j=0}^n j 2^{-j} + C \sum_{j=0}^n j^2 2^{-j}, $$donde se puede derivar$A,B,C$al expandir el producto del término lineal y simplificar, y las 3 sumas son series geométricas$\sum_k a^k$y 2 sus derivados.