OMI 2003 / G1: demuestre que $PQ=QR$ si y solo si las bisectrices de $\angle ABC$ y $\angle ADC$ son concurrentes con $AC$.

Aug 18 2020

Dejar $ABCD$ser un cuadrilátero cíclico. Dejar$P$, $Q$, $R$ ser los pies de las perpendiculares de $D$ a las lineas $BC$, $CA$, $AB$, respectivamente. Muestra esa$PQ=QR$ si y solo si las bisectrices de $\angle ABC$ y $\angle ADC$ son concurrentes con $AC$.

Aquí está el diagrama:

Quiero usar geo proyectiva.

Mi Progreso : Es muy conocido que$P,Q,R$ son colineales [línea Simson]

Ahora, aquí hay un lema.

Lema : dado un cuadrante cíclico$ABCD$, las bisectrices de ángulo $\angle ABC$ y $\angle ADC$ son concurrentes con $AC$ si y solo si $ABCD$ es armónico.

Prueba : si$ABCD$ es armónico, entonces $(A,C;B,D)=-1 \implies \frac {BA}{BC}=\frac {DA}{DC} $ , ahora aplicando el teorema de la bisectriz del ángulo, hemos terminado.

Podemos retroceder para probar la otra dirección.


Entonces, la pregunta reformulada es:

Dejar $ABCD$ser un cuadrilátero cíclico. Dejar$P$, $Q$, $R$ ser los pies de las perpendiculares de $D$ a las lineas $BC$, $CA$, $AB$, respectivamente. Muestra esa$Q$ es el punto medio de $PR$ si y solo si $ABCD$ es armónico:

Ahora, dado que se me pide que use Projective geo, planeo mostrar $(P,R;Q,P_{\infty})=-1$. Ahora puedo conseguir$P_{\infty}$cuando considero una línea paralela a la línea de Simson pero no puedo continuar tomando qué línea. Tomé una línea paralela a$PR$ mediante $D$, pero no puede continuar ..

Respuestas

3 Yesit'sme Aug 18 2020 at 21:29

Ampliar $DQ$ encontrar el círculo en $X$Entonces, BX sería paralelo a la línea de Simson como se menciona en el comentario.

Si parte: ahora, deja $BX$ reunirse $AC$ a $Y$.Tome la perspectiva en $B$ en línea $AC$ para mostrar que $(Y,Q,A,C)$ armónico Ahora, tome la perspectiva en $X$ en el círculo para mostrar que $ABCD$es armónico. La otra dirección se puede probar de manera similar.