OPE de exponenciales

Question

Dado un campo holomorfo$H(z)$con OPE:$$H(z)H(0)\sim -\ln z$$¿Cuál es la forma más inteligente de calcular los OPE de los operadores exponenciales?$e^{\pm iH(z)}$, dado de la siguiente manera?$$e^{iH(z)}e^{-iH(0)} \sim \frac{1}{z},$$ $$e^{iH(z)}e^{iH(0)} \sim 0,$$ $$e^{-iH(z)}e^{-iH(0)} \sim 0.$$¿Debería expandirme?$\exp$y hacer término por término? ¿O hay una forma más inteligente de hacerlo?

Answer 1

Sugerencias:

1. Tenga en cuenta que hay un orden radial implícitamente escrito${\cal R}$y orden normal$::$en varios lugares en las ecuaciones de OP.

2. El punto de partida es la relación de 2 puntos$$\begin{align}{\cal R}(A(z)B(w)) ~-~:A(z)B(w): ~=~& C(z,w)~{\bf 1}, \cr C(z,w)~\equiv~&\langle \Omega | {\cal R}(A(z)B(w))|\Omega\rangle,\end{align} \tag{1} $$cf. esta publicación Phys.SE.

3. El teorema de Wick relevante es un teorema de Wick anidado$$ \begin{align} {\cal R}(:e^{A(z)}::e^{B(w)}:)~=~&\exp\left( C(z,w)\frac{\partial}{\partial A(z)}\frac{\partial}{\partial B(w)}\right): e^{A(z)+B(w)}:\cr ~=~&\ldots~=~e^{C(z,w)}: e^{A(z)+B(w)}:\cr ~=~&e^{C(z,w)}\left(: e^{A(w)+B(w)}:~+~{\cal O}(z\!-\!w)\right) ,\end{align} \tag{2}$$cf. mi respuesta Phys.SE aquí .