Operador $A\ \text{bounded from below}\iff A^*\ \text{surjective}$

Question

Dejar $H$ ser un espacio de Hilbert, $A\in H'$ un operador acotado y $A^*$ su adjunto. $A$ se llama acotado desde abajo si existe un $b>0$, tal que $b ||h||\le ||Ah||, \forall h\in H$. Entonces, ¿cómo se puede establecer que$$A\ \text{bounded from below}\iff A^*\ \text{surjective}$$ La sugerencia dada es usar el teorema de rango cerrado que $Ran(A)$ está cerrado si $Ran(A^*)$está cerrado. Pero no estoy seguro de cómo conectar la cercanía y la sobrejetividad. Se agradecerá cualquier ayuda.

Answer 1

Creo que puedes hacer lo siguiente: Desde $A$ está delimitado por debajo y $H$ está completo, tienes eso $Ran(A)$está cerrado. Lo que significa que$Ran(A)$ es un espacio de Hilbert.

Nuevamente al estar acotado por debajo, se sigue que $A_0\colon H\to Ran(A)$, la restricción de $A$en su rango, es un isomorfismo lineal (bicontinioso también). Por lo tanto tienes eso$A_0^* \colon Ran(A)' \to H'$ es también un isomorfismo lineal de $Ran(A)' = Ran(A)$ dentro $H'=H$.

Y creo que puedes probar eso $A_0^*$ Es solo $A^*$ prohibido para $Ran(A)$. Por lo tanto,$A^*$, puede que ya no sea inyectiva, pero seguramente es sobreyectiva.

Al revés, creo que puedes hacer algo similar. Si$A^*$ es sobreyectiva entonces define $H_0\doteq \ker (A^*)^\perp $, que es un espacio de Hilbert, y $A^*_0\colon H_0\to H$, que es un isomorfismo lineal ya que $A^*$ es sobreyectiva.

Luego $(A_0^*)^*\colon H'\to H_0'$es un isomorfismo lineal (bicontinoso como siempre), por lo tanto está acotado por debajo. Una vez más, desde$H$ y $H_0$ son espacios de Hilbert, se sigue que $H'=H$ y $H_0' = H_0\subset H$.

Y creo que puedes probar eso $(A^*_0)^*$ coincide con $A^{**} = A$. Y tu estas listo.