Operadores de creación y aniquilación en QFT
Como dije antes, no soy un experto en QFT, pero estoy tratando de comprender los conceptos básicos de su rigurosa formulación.
Tomemos el libro de Dimock , donde se discute la base de QM y QFT. Si consideramos, digamos, dos partículas, una que vive en un espacio de Hilbert$\mathcal{H}_{1}$ y el otro en otro espacio de Hilbert $\mathcal{H}_{2}$, la descripción del estado del sistema de dos partículas se da en términos del producto tensorial $\mathcal{H}^{(2)}=\mathcal{H}_{1}\otimes \mathcal{H}_{2}$. Por supuesto, podríamos ir más lejos y estudiar un sistema$\mathcal{H}^{(N)}=\mathcal{H}_{1}\otimes \cdots \otimes \mathcal{H}_{n}$. Si todas las partículas son idénticas, entonces$\mathcal{H}_{1}=\cdots = \mathcal{H}_{n} \equiv \mathcal{H}$ y debemos tener en cuenta los subespacios simétricos y antisimétricos de $\mathcal{H}^{(N)}$, que corresponden al hecho de que las partículas pueden ser bosones o fermiones, respectivamente. En este punto, se definen los operadores de simetrización y anti-simetrización. El siguiente paso es considerar un sistema de un número arbitrario de partículas. En este punto, se definen los espacios Fock.$\mathcal{F}^{\pm}(\mathcal{H}) = \bigoplus_{n=0}^{\infty}\mathcal{H}_{n}^{\pm}$para bosones y fermiones. Además, se definen los operadores de creación y aniquilación.$a(h)$ y $a^{\dagger}(h)$ en $\mathcal{F}^{\pm}(\mathcal{H})$.
Ahora, hasta donde tengo entendido, todo esto es mecánica cuántica , no QFT. Sin embargo, estas ideas parecen encontrar analogías en QFT, y este es el punto en el que me confundo.
En la sección I.5 del libro de Feldman, Trubowitz y Knörrer hay una discusión rápida sobre QFT (fermiónica) y se afirma que, en este contexto, los operadores de creación y aniquilación son familias especiales.$\{\varphi^{\dagger}(x,\sigma):\hspace{0.1cm} x \in \mathbb{R}^{d}, \hspace{0.1cm} \sigma \in \mathcal{S}\}$ y $\{\varphi(x,\sigma):\hspace{0.1cm} x \in \mathbb{R}^{d}, \hspace{0.1cm} \sigma \in \mathcal{S}\}$ en un espacio de Hilbert $\mathcal{H}$. Esto es muy diferente a los operadores de creación y aniquilación mencionados anteriormente. Por ejemplo, ahora son familias de operadores indexados por$x$ y $\sigma$. Creo que esto es un reflejo del hecho de que pasamos de QM a QFT. Pero estoy realmente perdido aquí y no sé cuál es la diferencia entre estas dos construcciones y definiciones. ¿Alguien puede ayudarme, por favor? Lo que más me interesa es entender el segundo enfoque, ya que creo que entiendo el primero (al menos lo suficientemente bien). Si además pudieras sugerir alguna referencia donde se discutan con más detalle y rigor estas ideas de Feldman, Trubowitz y Knörrer, ¡te lo agradecería!
ADD: Basado en el libro de Feldman, Trubowitz y Knörrer, me parece que la comprensión de estos objetos (para ser más precisos, los objetos que describen brevemente en las 2 primeras páginas de la sección I.5) es fundamental para comprender la formulación de un montón de modelos QFT (al menos para fermiones). Por lo tanto, agradecería que alguien pudiera desarrollar un poco más la estructura detrás de estos operadores de creación y aniquilación y sus conexiones con el caso cuántico que se necesita para comprender el resto de la discusión sobre el libro de FTK. En otras palabras, creo que solo necesito comprender mejor estas primeras definiciones (y cómo están conectadas con el caso cuántico habitual que (parece) saber) para poder comprender el resto del texto.
Respuestas
La conexión se puede ver tomando $H = L^2(\mathbb{R}^3)$en la primera explicación. Este es el espacio de Hilbert de una partícula tridimensional, sin espinas, no relativista. Sumando directamente las potencias del tensor simétrico (antisimétrico) de$H$obtenemos el espacio de Hilbert de un conjunto de partículas tridimensionales no relativistas, sin espinas, bosónicas (fermiónicas) no interactivas, conocido como espacio de Fock. los$n$El poder tensorial representa los estados en los que $n$ las partículas están presentes.
Ahora tenemos operadores de "creación" y "aniquilación" que toman estados en el $n$el poder tensorial en el $(n \pm 1)$st poder tensorial. Para cada estado$h$ en el espacio original de Hilbert $H$ hay un operador de creación que tensores con $h$ y simetriza (antisimetriza), tomando el $n$el poder tensorial en el $(n+1)$st, y su adjunto que va en la dirección opuesta y elimina un factor tensor de $h$.
En la literatura de física, uno generalmente trabaja con operadores idealizados de creación / aniquilación para los cuales el estado $h$ es una función delta de Dirac ficticia concentrada en algún punto de $\mathbb{R}^3$. Esto es lo que se describe en su segunda explicación. Como es habitual en física, el espacio de Hilbert no está especificado, pero en el caso de los campos libres corresponde al espacio de Fock en la primera explicación.
El espacio de Fock es inadecuado para modelar campos que interactúan (de hecho, aquí los problemas matemáticos se vuelven profundos y fundamentalmente sin resolver). Sin embargo, no es trivial; por ejemplo, uno puede estudiar campos cuánticos libres contra un fondo de espacio-tiempo curvo y derivar la radiación de Hawking, el efecto Unruh, etc. La teoría cuántica de campos en el espacio-tiempo curvo y la termodinámica de agujeros negros de Wald es una explicación excelente y matemáticamente rigurosa de este escenario.
En QFT, la intuición es que uno tiene un espacio de Hilbert separado en cada punto del espacio, y uno toma su producto tensorial para obtener el espacio de Hilbert de todo el campo. Indiqué cómo, intuitivamente, el espacio de Fock modela un "producto tensorial medible" de una familia de osciladores armónicos (caso bosónico) o sistemas de dos estados (caso fermiónico) indexados por todos los puntos del espacio en mi respuesta aquí . Consulte la Sección 2.5 de mi libro Cuantificación matemática para obtener una explicación completa.
Descargo de responsabilidad: no soy un físico matemático.
Incluso con un espacio de Hilbert, a saber, el oscilador armónico cuántico , puede definir operadores de "creación-aniquilación", excepto que en este caso simplemente elevan o disminuyen el nivel de energía del sistema de partículas individuales.
Ahora, considera el espacio Fock $\mathcal{F}^{\pm}(\mathcal{H}) = \bigoplus_{n=0}^{\infty}\mathcal{H}_{n}^{\pm}$ de la forma que describe anteriormente: en realidad es un funtor, de ahí el infame dicho de que la segunda cuantificación es un funtor.
Allí, define nuevamente los dos operadores, pero los vuelve a interpretar como operadores de escalera que, desde el estado fundamental, crean y destruyen partículas. Formalmente se comportan de forma muy parecida a como ocurre con el oscilador armónico de juguete, y esa analogía es de gran alcance:
básicamente te dice que el campo cuántico descrito por el funtor de Fock puede "excitarse": las partículas son excitaciones del vacío (de hecho, hay algunas imágenes hermosas de campos cuánticos como conjuntos (infinitos) de osciladores armónicos (acoplados), ver aquí ).
¿Qué tiene esto que ver con la segunda definición? Si el campo cuántico crea y aniquila partículas, puede hacerlo en cada punto de su espacio ambiental . De ahí los índices ...