Orientación de fijación del colector liso conectado en $\mathbb{R}^n$ por un solo gráfico
Estoy estudiando en Zorich, Análisis matemático II, 1ª ed. pag. 174-175. Después de haber explicado adecuadamente cómo se definen las orientaciones (clases de equivalencia) para superficies lisas k-dimensionales en$\mathbb {R} ^ n$ que se puede describir con un solo mapa, pase al caso más general definiendo los significados de:
- gráficos consistentes,
- orientando atlas,
- clases de equivalencia para la orientación de atlas (posibles orientaciones de la superficie).
Habiendo hecho esto, afirma sin pruebas que una superficie k-dimensional lisa conectada solo puede tener dos orientaciones posibles. De esta afirmación deduce inmediatamente que para fijar una orientación en una superficie de este tipo no es necesario exhibir un atlas completo de gráficos consistentes, pero es suficiente exhibir un solo gráfico.
Estaba tratando de demostrar por qué, pero no puedo. Supuse, por absurdo, que tenía dos atlas de diferente orientación, hechos de gráficos consistentes por pares, que contenían un gráfico común.$ \varphi_1 $:
$$A_1=\{\varphi_1,\varphi_2,...,\varphi_m,...\}$$ $$A_2=\{\varphi_1,\varphi'_2,...,\varphi'_m,...\}$$
pero de aquí no puedo llegar a ningún absurdo. ¿Alguien puede ayudarme por favor?
Respuestas
Voy a utilizar la terminología "múltiple" en lugar de "superficie", porque "superficie" generalmente significa bidimensional.
Déjame usar la notación $M$ para el colector en cuestión.
Tienes que hacer uso de alguna manera de la hipótesis de que la variedad $M$está conectado. Dado que los colectores están conectados a una ruta localmente, puede utilizar el teorema de que un espacio conectado a una ruta local está conectado a una ruta.
Considere el gráfico común $\varphi_1 : U_1 \to \mathbb R^k$ en $A_1 \cap A_2$y arregla un punto base $p \in U_1$.
Ahora probaré directamente que cualquier gráfico en $A_1$ y cualquier gráfico en $A_2$ son consistentes en cualquier punto de su superposición.
Considere cualquier $x \in M$y elegir gráficos $\phi_I : U_I \to \mathbb R^k$ en $A_1$ y $\varphi'_J : U'_J \to \mathbb R^k$ en $A_2$, tal que $x \in U_I \cap U'_J$. Tenemos que demostrar que$\varphi_I$ y $\varphi'_J$ son consistentes en el punto $x$.
Usando conectividad de ruta del colector $M$, elige un camino continuo $\gamma : [0,1]$ tal que $\gamma(0)=p$ y $\gamma(1)=x$. Dado que los conjuntos$\{U_i \cap U'_j\}_{i,j}$ cubrir $M$, sus imágenes inversas $\{\gamma^{-1}(U_i \cap U'_j)\}_{i,j}$ cubrir $[0,1]$. Aplicando el lema numérico de Lebesgue, podemos elegir un número entero$N \ge 1$y descomponer $[0,1]$ en subintervalos $I_m = [\frac{m-1}{N},\frac{m}{N}]$, $m=1,\ldots,N$, así que eso $\gamma(I_m)$ es un subconjunto de una de las intersecciones $U_{i(m)} \cap U'_{j(m)}$.
Lo sabemos $\varphi_{i(1)}$ y $\varphi'_{j(1)}$ ambos son consistentes entre sí en $\gamma(0)=p$, porque ambos son consistentes con $\varphi_1$. Considere el camino$\gamma \mid I_1$ y deja $t \in I_1 = [0,1/N]$ variar de $0$ a $1/N$. Como$t$ varía, el determinante de la derivada del mapa de superposición de los dos gráficos $\varphi_{i(1)}$ y $\varphi'_{j(1)}$ varía continuamente, es distinto de cero en todas partes y es positivo en $t=0$, por lo tanto es positivo en $t=1/N$. Esto prueba que$\varphi_{i(1)}$ y $\varphi'_{j(1)}$ son consistentes en $\gamma(1/N)$.
Ahora hacemos una prueba de inducción: asumiendo por inducción que $\varphi_{i(m)}$ y $\varphi'_{j(m)}$ son consistentes en $\gamma(m/N)$, probamos que $\varphi_{i(m+1)}$ y $\varphi'_{j(m+1)}$ son consistentes en $\gamma((m+1)/N)$. Ya que$\varphi_{i(m)}$ y $\varphi_{i(m+1)}$ son consistentes en $\gamma(m/N)$, y desde $\varphi'_{j(m)}$ y $\varphi'_{j(m+1)}$ son consistentes en $\gamma(m/N)$, resulta que $\varphi_{i(m+1)}$ y $\varphi'_{j(m+1)}$ son consistentes en $\gamma(m/N)$. Ahora la demostración continúa como en el párrafo anterior, usando la continuidad del determinante de la derivada del mapa de superposición de los dos gráficos.$\varphi_{i(m+1)}$ y $\varphi'_{j(m+1)}$ a $\gamma(t)$, como $t \in I_{m+1}$ varía de $m/N$ a $(m+1)/N$y la consistencia de esos gráficos en $\gamma(m/N)$, para deducir consistencia en $\gamma((m+1)/N)$. Con esto se completa la etapa de inducción.
Para completar la demostración, hemos demostrado que $\varphi_{i(N)}$ y $\varphi'_{j(N)}$ son consistentes en $\gamma(N/N)=x$. También sabemos que$\varphi_I$ es consistente con $\varphi_{i(N)}$y $\varphi'_J$ es consistente con $\varphi'_{j(N)}$ a $x$. Por lo tanto,$\varphi_I$ y $\varphi'_J$ son consistentes en $x$.
Dejar $M$ se tu $k$-superficie dimensional pintada con respecto al gráfico $\{ \varphi_i\}_i$, $\varphi_i : \mathbb R^k\rightarrow U_i \subset_{open } M $. $\exists \ \omega\in \Omega^k(M)$ tal que $\omega$no desaparece en todos los puntos. Esto es posible ya que$M$ es orientable. $\varphi_i^*\omega=g_i \lambda$ dónde $\lambda=dx_1\wedge dx_2\wedge \dots dx_n$ y $g_i:\mathbb R^k \rightarrow \mathbb R$es una función suave que no desaparece. Dado que los gráficos son consistentes, todos$g_i$son positivas o todas negativas. Suponga que todos los$g_i$son positivas.
Ahora tienes los gráficos $\{ \varphi_1, \varphi_j'\}_j $ Como antes tenemos $\varphi^*_1 \omega =g_1\lambda$ y ${\varphi'}_j^*\omega=h_j \lambda$. Por la misma lógica anterior, obtenemos$\{g_1, h_j \}_j$son todas funciones positivas o todas negativas. Pero desde$g_1$ es positivo, obtenemos todo $h_j$son positivas. Así obtienes la misma orientación.