Para describir un trivector invariante en dimensión 8 geométricamente
$\newcommand\Alt{\bigwedge\nolimits}$Dejar $G=\operatorname{SL}(2,\Bbb C)$, y deja $R$ denotar la representación bidimensional natural de $G$ en ${\Bbb C}^2$. Por un entero$p\ge 0$, escribir $R_p=S^p R$; luego$R_1=R$ y $\dim R_p=p+1$.
Usando la Tabla 5 en el libro de Onishchik y Vinberg, calculé que la representación $$ R_2\otimes\Alt^2 R_4 $$contiene la representación trivial con multiplicidad uno. Usé la mesa como una caja negra.
Pregunta. Dejar$V\subset R_2\otimes\Alt^2 R_4$denotar el correspondiente subespacio unidimensional. ¿Cómo se puede describir$V$como un subespacio geométricamente ?
Motivación: quiero considerar una$\operatorname{PGL}(2,k)$-trivector fijo $$v\in V\subset R_2\otimes\Alt^2 R_4\subset \Alt^3(R_2\oplus R_4)$$ del espacio vectorial de 8 dimensiones $W=R_2\oplus R_4$ sobre un campo $k$ de característica 0, y luego torcer todo esto usando un ciclo de Galois de $\operatorname{PGL}(2,k)$. Para este fin necesito una descripción geométrica de$V$.
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Respuestas
Aquí hay otra interpretación muy agradable (pero aún algebraica) que explica parte de la geometría: recuerde que $\operatorname{SL}(2,\mathbb{C})$ tiene un $2$-a-$1$ representación en $\operatorname{SL}(3,\mathbb{C})$ de modo que el álgebra de Lie se divide como $$ {\frak{sl}}(3,\mathbb{C}) = {\frak{sl}}(2,\mathbb{C})\oplus {\frak{m}} $$ dónde ${\frak{m}}$ es el ($5$-dimensional) complemento ortogonal de ${\frak{sl}}(2,\mathbb{C})$ usando la forma de matar de ${\frak{sl}}(3,\mathbb{C})$. Tenga en cuenta que${\frak{m}}$ es un irreductible ${\frak{sl}}(2,\mathbb{C})$-módulo, y que cada elemento $x\in {\frak{sl}}(3,\mathbb{C})$ se puede escribir de forma única como $x = x_0 + x_1$ con $x_0\in {\frak{sl}}(2,\mathbb{C})$ y $x_1\in{\frak{m}}$. Tenga en cuenta también que$[{\frak{m}},{\frak{m}}]= {\frak{sl}}(2,\mathbb{C})$.
Esto define el emparejamiento deseado ${\frak{sl}}(2,\mathbb{C})\times \bigwedge\nolimits^2({\frak{m}})\to\mathbb{C}$: Enviar $(x_0,y_1,z_1)$ a $\operatorname{tr}(x_0[y_1,z_1])$. Por supuesto, esto hace que el$\operatorname{SL}(2,\mathbb{C})$-invarianza del emparejamiento evidente.
Para una construcción puramente geométrica, vea más abajo, después de las siguientes consideraciones algebraicas.
Hay un isomorfismo wronskiano que, como caso particular, dice que el segundo poder exterior de $R_4$ es isométrica a la segunda potencia simétrica de $R_3$. Entonces el invariante en cuestión es$I(Q,C)$, una articulación invariante en una cuadrática binaria $Q$ y un cúbico binario $C$, que es lineal en $Q$ y cuadrático en $C$. De hecho, esto es único a escala y se da en notación simbólica clásica (ver, por ejemplo, Grace y Young) por$$ (ab)(ac)(bc)^2 $$ dónde $Q=a_{x}^{2}$ y $C=b_{x}^{3}=c_{x}^{3}$.
Otra construcción es comenzar desde el discriminante binario y polarizarlo para obtener una forma bilineal (la única invariante en $R_2$), y aplique esta forma bilineal a $Q$ y el arpillera de $C$.
Si uno no quiere usar el isomorfismo wronskiano, entonces el invariante sería $J(Q,F_1,F_2)$, trilineal en el cuadrático $Q$ y los dos cuarticos binarios $F_1,F_2$. Satisfacería la antisimetría$J(Q,F_2,F_1)=-J(Q,F_1,F_2)$ y sería dado en forma simbólica por $$ (ab)(ac)(bc)^3 $$ donde ahora $Q=a_{x}^{2}$, $F_1=b_{x}^{4}$, y $F_2=c_{x}^{4}$.
Construcción geométrica:
Considerar $\mathbb{P}^1$ incrustado por Veronese como una cónica $\mathscr{C}$ en $\mathbb{P}^2$. Una cuadrática binaria$Q$ corresponde a un punto en $\mathbb{P}^2$. Un cúbico binario$C$ corresponde a un divisor o una colección desordenada de tres puntos $\{P_1,P_2,P_3\}$ en $\mathscr{C}$. Dejar$T_1, T_2, T_3$ ser las tangentes a la cónica en $P_1,P_2,P_3$. Considere los puntos de intersección$T_1\cap P_2P_3$, $T_2\cap P_1P_3$, $T_3\cap P_1P_2$. Están alineados y así definen una línea.$L$. La desaparición de lo invariante$I(Q,C)$ detecta la situación donde el punto $Q$ está en la línea $L$. No recuerdo si el resultado de colinealidad que mencioné tiene un nombre, pero es un caso degenerado del teorema de Pascal.