Paso en prueba en Riemann Sums de Spivak Calculus.
Estaba elaborando una prueba en Cálculo de Spivak (2008) - pág . 279 . La siguiente es una captura de pantalla de la parte de la prueba con la que tengo problemas.

Mi pregunta es cómo combinar los pasos 1, 2 y 3 correctamente. Quiero llegar a
$$\bigg|\sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - \int_{a}^{b}f(x)dx \bigg| < \epsilon \\ \Rightarrow\ -\epsilon < \sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - \int_{a}^{b}f(x)dx < \epsilon$$
Jugando con la ecuación 2, obtendría algo de la forma
$$ 0 \leq \sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - L(f,P) \leq U(f,P) - L(f,P) < \epsilon$$
Lo mismo ocurriría con $\int_{a}^{b}f(x) dx$. Ahora, usando esta idea, obtengo algo de la forma:
$$\epsilon > U(f,P) - L(f,P) \geq \sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - L(f,P) \geq \sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - \int_{a}^{b}f(x) \geq ?? $$
Este es mi problema, no puedo asegurar que $\sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - \int_{a}^{b}f(x) \geq 0$. Nada de lo que tengo puede implicar tal y como resultado de esto no puedo concluir que$\sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - \int_{a}^{b}f(x) > -\epsilon$. Lo que me permitiría terminar esta parte de la prueba. Por experiencia sé que es una cosa algebraica menor que me falta, pero supongo que estoy mentalmente fatigado y no lo veo. Un poco de ayuda estaría bien.
Respuestas
Sugerencia : multiplica la ecuación$(3)$ por $-1$ y agregar a la ecuación $(2)$ Llegar:
$-(U(f,p) -L(f,P))\leq -\int_{a}^{b}f(x)dx+\sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) \leq U(f,P) - L(f,P) $
En otras palabras, tenemos $-\epsilon\lt y\lt \epsilon$, de donde $|y|\lt \epsilon$
$(2)$ y $(3)$ implica que tanto la suma como la integral están entre $L(f,P)$ y $U(f,P)$ por lo que la diferencia absoluta entre ellos no puede ser más que $U(f,P)-L(f,P)$ y por $(1)$ esta última expresión es menor que $\epsilon.$