Pegado de campos vectoriales

Question

Dejar $M$ ser un colector suave y $\mathcal{A} = \{(U_i, \varphi_i)~|~i \in I\}$el atlas suave asociado. Tengo campos vectoriales suaves$X_i$ en cada $U_i$ tal que para $i, j \in I$, $X_i$ y $X_j$ son iguales en $U_i \cap U_j$. ¿Existe un teorema que me permita "pegar" estos campos vectoriales,$i.e.$ ¿Hay un campo vectorial (único)? $X$ en $M$ tal que $X\big|_{U_i} = X_i$? ¡Muchas gracias!

Answer 1

Sí, de hecho, tenemos un resultado un poco más general, que aparece en la Introducción de Lee a Smooth Manifolds 2nd ed, como sigue:

Corolario 2.8 (encolado Lema de transformaciones suaves) Let$M$ y $N$ ser múltiples lisos con o sin límite, y dejar $\{U_{\alpha}\}_{\alpha \in A}$ ser una tapa abierta de $M$. Supongamos que para cada$\alpha \in A$, se nos da un mapa sin problemas $F_{\alpha} : U_{\alpha} \to N$ de modo que los mapas coincidan en superposiciones: $F_{\alpha}|_{U_{\alpha}\cap U_{\beta}} =F_{\beta}|_{U_{\alpha}\cap U_{\beta}}$ para todos $\alpha$ y $\beta$. Entonces existe un mapa suave único$F : M \to N$ tal que $F|_{U_{\alpha}} = F_{\alpha}$ para cada $\alpha \in A$.

Esto es solo una consecuencia del hecho de que si un mapa $F: M \to N$ es localmente suave, entonces el mapa $F$ es suave.