Polinomio con ciertas condiciones

Question

¿Es posible crear un polinomio? $p(x)$, en términos de $a,b,c \geq0, \in\mathbb{R}$ y $\epsilon >0, \in \mathbb{R}$, tiene un grado fijo (también conocido como un grado $n$ eso no depende de $a,b,c, \epsilon$), $p(0)=a$, y en $[b,c]$, $|p(x)| \leq \epsilon$?

EDITAR: también aceptaré el caso específico de$\epsilon=1$ y $b \in [0.1,0.9]$

Answer 1

Dejar $n$ denotar el grado del polinomio.

Primer caso) Si la pregunta es con cuantificadores en este orden$\forall a,b,c,\epsilon, \ \exists n$ etc. (por lo tanto $n$ es función de $a,b,c,\epsilon$) la respuesta es sí". He aquí por qué.

Por razones didácticas, consideraré primero el caso particular $a=1,b=1,c=3$.

Considere los polinomios de Chebyshev $T_k$ (https://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev_polynomials), conocido por ser tal que:

$$|T_k(x)| \le 1 \ \ \ \text{for} \ \ -1 \le x \le 1$$

Luego defina:

$$t_k(x):=\dfrac{1}{T_k(-2)}(x+1)T_k(x-2)$$

Por lo tanto tenemos $t_k(0)=1$ y

$$\max_{1 \le x \le 3} t_k = \dfrac{3}{T_k(-2)}$$

El resultado sigue porque podemos tomar $k$ tal que $|T_k(-2)|$ es tan grande como queramos.

En el caso general, considere la inversa de la transformación $X=\dfrac{c-b}{2}x+\dfrac{b+c}{2}$ que mapea segmento de línea $x \in [-1,1]$ sobre $X \in [b,c]$.

$ t_k(x):=\underbrace{\dfrac{a (c+1)}{T_k(\tfrac{b+c}{b-c})}}_{A} * \dfrac{(x+1)}{(c+1)} * T_k\left(\dfrac{2x-(b+c)}{c-b}\right)\tag{1}$

(tenga en cuenta que el $(c+1)$las expresiones se pueden cancelar. Ahora examinemos (1):

• Se cumplen las dos condiciones.

• Como la expresión del medio está limitada por $1$, solo tenemos que asegurarnos de que la expresión (A) pueda hacerse arbitrariamente pequeña. Esto se hará jugando en grado$k$: de hecho polinomio de Chebyshev $T_k(x)$ para $x$ fuera de $[-1,1]$ puede ser escrito:

$$T_k(x)=\cosh(k \ \text{arccosh}(x))\tag{2}$$

por lo tanto, puede hacerse arbitrariamente grande para cualquier $x$ fuera de $[-1,1]$ (que es el caso aquí para $x=-\tfrac{b+c}{c-b}<-1$).

Segundo caso ) Si por el contrario (no era como yo había entendido la pregunta) la pregunta es con cuantificadores en este orden:

$"\exists n$ (tal que) $\forall a,b,c,\epsilon$, se puede encontrar un polinomio que verifique las dos condiciones ", la respuesta es" no ".

Editar: He aquí por qué. Fijemos por ejemplo el grado$n$ a $4$. ¿Estamos de acuerdo en que su problema es equivalente a refutar el hecho de que si un polinomio$p(x)$ es tal que :

$$\max_{x \in [-1,1]} p(x) \in [-1,1] \ \text{and prove that} \ p(-2) \ \text{can't be arbitrarily large} ?\tag{3}$$

(será más fácil hacer un razonamiento sobre el intervalo $[-1,1]$ y valor arbitrario $x_0=-2$ en vez de $[0.1,0.9]$ y $x_0=0$ para evitar transformaciones de polinomios $T_n$).

Vamos a expandir $p(x)$ sobre la base de polinomios $T_n(x)$ (para $n\leq 4$):

$$p(x)=\sum_{k=0}^4 a_kT_k(x)\tag{4}$$ Debido a la condición (3) y al hecho de que $\max_{x \in [-1,1]}|T_k(x)|=1$:

$$\sum |a_k| \leq 5 \tag{5}$$

Usando ahora la relación (2):

$$p(-2)=\sum_{k=0}^4 a_k \cosh(k \ \text{arccosh}(-2))$$

que es una cantidad acotada debido a (5).

Por lo tanto $p(-2)$ no puede alcanzar valores grandes arbitrarios.