¿Por qué cada $|X\rangle\in H_1\otimes H_0$ ser escrito como $|X\rangle=(X\otimes I_{H_0})|\Omega \rangle$ para algunos $X\in\mathcal L(H_0,H_1)$?
En Un marco teórico para redes cuánticas se demuestra que un mapa lineal$\mathcal{M} \in \mathcal{L}(\mathcal{H_0},\mathcal{H_1})$ es CP (completamente positivo) si su operador Choi $M$es positivo semi definido. Algo me confunde en esta derivación.
Primero, algunos recordatorios de definiciones.
Dejar $X \in \mathcal{L}(H_0,H_1)$, dejar $\{|i \rangle \}_i$ ser una base ortonormal de $H_0$, tenemos:
$$ | \mathcal{I} \rangle \rangle \equiv \sum_i |ii \rangle$$ $$|X \rangle \rangle \equiv (X \otimes \mathcal{I}) | \mathcal{I} \rangle \rangle$$
El operador Choi se define como:
$$ M = \mathcal{M} \otimes \mathcal{I}_{H_0} | \mathcal{I} \rangle \rangle \langle \langle \mathcal{I} |$$
En su prueba, asume $M \geq 0$ el objetivo es mostrar que implica $\mathcal{M}$ es CP.
$M$es positivo semi definido, lo que implica que es hermitiano con valores propios positivos. Por tanto, se puede diagonalizar. Con$\lambda_i \geq 0$, tenemos:
$$ M = \sum_i \lambda_i |u_i \rangle \langle u_i |=\sum_i | K_i \rangle \langle K_i |$$
Con $|K_i \rangle = \sqrt{\lambda_i} |u_i \rangle$
Pero parece considerar "automáticamente" que $|K_i \rangle = |K_i \rangle \rangle$. No entiendo eso. ¿Por qué necesariamente tendríamos$|K_i \rangle = (K_i \otimes \mathcal{I}) | \mathcal{I} \rangle \rangle$. Es un caso muy particular. ¿Por qué puede escribirse el estado como una operación local que actúa sobre un estado entrelazado al máximo?
Tengo una memoria muy vaga de que cualquier estado cuántico se puede escribir como $(K \otimes \mathbb{I}) | \mathcal{I} \rangle \rangle$. Dicho de otra manera, siempre existe una operación lineal$K$ (no necesariamente unitario, por supuesto) tal que cualquier vector en $H_1 \otimes H_0$ Se puede escribir como $K \otimes \mathcal{I} | \mathcal{I} \rangle \rangle$Supongo que solucionaría el problema. Pero no puedo encontrar la fuente de eso y puedo estar totalmente equivocado.
Al final, ¿por qué podemos escribir: $|K_i \rangle = |K_i \rangle \rangle$. Me gustaría una prueba de eso (y si la propiedad de la que acabo de hablar se mantiene, me gustaría un enlace a una referencia que lo exprese o una prueba de eso también en la respuesta)
Respuestas
Dejar $K$ ser un vector $$ |K\rangle=\sum_{ij}K_{ij}|i,j\rangle. $$ Podríamos reescribir esta ias $$ |K\rangle=\left(\left(\sum_{ij}K_{ij}|i\rangle\langle j|\right)|j\rangle\right)\otimes|j\rangle, $$ y esto es lo mismo que $$ |K\rangle=K\otimes 1\sum_j|j,j\rangle=|K\rangle\rangle $$ si definimos la matriz $K$ ser - estar $K=\sum_{ij}K_{ij}|i\rangle\langle j|$.
Ya definiste la matriz Choi como $M = \rho_{\mathrm{Choi}} = \left(\mathcal{M}\otimes I\right)(|\mathcal{I}\rangle\rangle\langle\langle\mathcal{I}||)$. Voy a escribir el estado máximamente enredado como$|\mathcal{\Omega}\rangle$ porque me resulta más legible y estoy más acostumbrado.
Ya has señalado que $M$ ser positivo-semidefinito significa que podemos realizar una descomposición espectral con valores reales:
$$ M = \sum_{i}\lambda_{i}|u_{i}\rangle\langle u_{i}| = \sum_{i}\sqrt{\lambda_{i}}|u_{i}\rangle\langle u_{i}| \sqrt{\lambda_{i}}. $$ Podemos descomponer estos $\sqrt{\lambda_{i}}|u_{i}\rangle$está en un producto tensorial de una base para ambas copias de los espacios de Hilbert: $$ \sqrt{\lambda_{i}}|u_{i}\rangle = \sum_{l}|a^{i}_{l}\rangle \otimes |b^{i}_{l}\rangle, $$
lo que significa que podemos escribir: \ begin {ecuación} \ begin {split} M = & \ sum_ {i} \ lambda_ {i} | u_ {i} \ rangle \ langle u_ {i} | = \ sum_ {i} \ sum_ {l} \ sum_ {m} | a ^ {i} _ {l} \ rangle \ otimes | b ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle a ^ {i} _ {m} | \ otimes \ langle b ^ {i} _ {m} | \\ = & \ sum_ {i, l, m} | a ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle a ^ {i} _ {m} | \ otimes | b ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle b ^ {i} _ {m} |. \ end {dividir} \ end {ecuación}
Como ya sabrá, podemos escribir la 'salida' del mapa $\mathcal{M}$ en 'entrada' $\rho_{\mathrm{in}}$, que así es $\rho_{\mathrm{out}} = \mathcal{M}\left(\rho_{\mathrm{in}}\right)$, en términos de la matriz Choi $M$:
$$ \mathcal{M}\left(\rho_{\mathrm{in}}\right) = d \mathrm{tr}_{2}\big[M\left(I \otimes \rho_{\mathrm{in}}^{T}\right)\big], $$ donde el rastro es el rastro parcial sobre el segundo subsistema, y el $T$ superíndice significa la transposición.
Ahora, conectamos nuestra descomposición anterior para $M$: \ begin {ecuación} \ begin {split} \ mathcal {M} \ left (\ rho _ {\ mathrm {in}} \ right) & = d \ mathrm {tr} _ {2} \ big [M \ left ( A veces \ rho _ {\ mathrm {in}} ^ {T} \ right) \ big] \\ & = d \ mathrm {tr} _ {2} \ big [\ sum_ {i, l, m} | a ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle a ^ {i} _ {m} | \ otimes | b ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle b ^ {i} _ {m} | \ left (I \ otimes \ rho _ {\ mathrm {in}} ^ {T} \ right) \ big] \\ & = d \ sum_ {i, l, m} \ mathrm {tr} _ {2} \ big [| a ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle a ^ {i} _ {m} | \ otimes | b ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle b ^ {i} _ {m} | \ rho _ {\ mathrm {in}} ^ {T} \ big] \\ & = d \ sum_ {i, l, m} | a ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle a ^ {i} _ {m} | \ langle b ^ {i} _ {m} | \ rho _ {\ mathrm {in}} ^ {T} | b ^ {i} _ {l} \ rangle \\ & = d \ sum_ {i, l, m} | a ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle a ^ {i} _ {m} | \ langle b ^ {* i} _ {l} | \ rho _ {\ mathrm {in}} | b ^ {* i} _ {m} \ rangle \\ & = d \ sum_ {i, l, m} | a ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle b ^ {* i} _ {l} | \ rho _ {\ mathrm {in}} | b ^ {* i} _ {m} \ rangle \ langle a ^ {i} _ {m} | \\ & = \ sum_ {i} A_ {i} \ rho _ {\ mathrm {in}} A_ {i} ^ {\ dagger}, \ end {split} \ end {ecuación} con$A_{i} = \sum_{l}\sqrt{d} |a^{i}_{l}\rangle \langle b^{*i}_{l}|$. Esta es solo la descomposición de Kraus, que es suficiente para$\mathcal{M}$ siendo CP.
Dejar $\newcommand{\kett}[1]{\lvert #1\rangle\!\rangle}\newcommand{\ket}[1]{\lvert#1\rangle}\ket m\equiv \sum_k \ket{k,k}$ denotar el estado (no normalizado) entrelazado máximo.
La relación $\kett X=(X\otimes I)\ket m$equivale a un simple malabarismo de índice. Con esto, quiero decir que está considerando el mismo objeto, es decir , el mismo conjunto de números, pero interpretándolo de diferentes maneras (como un operador en lugar de como un vector).
Para ver esto, deja $X\in\mathcal L(H_0,H_1)$ ser su operador, cuyos elementos de la matriz (en alguna elección de base) escribimos como $X_{ij}$. Tenga en cuenta que puede entender$X_{ij}$ como operador ("enviando el índice $j$ al índice $i$"), o como vector en$H_0\otimes H_1$. Más formalmente, si escribimos con$\kett X$ la "interpretación vectorial" de $X$, tenemos $$\langle i,j\kett X = X_{ij} =\langle i|X|j\rangle = \langle i,j|(X\otimes I)\ket m,$$ donde usamos $\langle i,j|X\otimes I|k,\ell\rangle = X_{ik}\delta_{j\ell},$ y por lo tanto $\kett X=(X\otimes I)\ket m.$ Esto también se escribe a menudo como $\kett X=\operatorname{vec}(X)$, con $\operatorname{vec}:\mathrm{Lin}(\mathcal X,\mathcal Y)\to\mathcal Y\otimes\mathcal X$ la operación de "vectorización".