¿Por qué debería existir este límite multivariable?
Considere el límite $$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{tan^{-1}(xy)}{xy}$$
Mi argumento de por qué el límite no existe: no existe a lo largo del camino $y=0$. O, en otra vista,$\frac{tan^{-1}(xy)}{xy}$ no está definido en puntos infinitos en cualquier vecindario de $(0,0)$.
Pero en muchas preguntas como esta, se ignora el razonamiento anterior y procedemos con otras técnicas. (Así: límite de pecado de cálculo con dos variables [cálculo-multivariable] ) ¿Pero cómo es eso válido? ¿Puede existir el límite con la función indefinida en tantos puntos alrededor del punto dado?
Respuestas
Aquí hay una definición de límites:
Dejar $X,Y$ ser espacios métricos, $E\subseteq X$, $f:X\to Y$ ser una función, y $a$ ser un punto límite de $E$. Decimos la función$f$ tiene un límite en $a$ (en el espacio $Y$) si se cumple la siguiente condición:
- Existe $l\in Y$ tal que por cada $\epsilon>0$, existe un $\delta>0$ tal que para todos $x\in E$, Si $0 <d_X(x,a)< \delta$ luego $d_Y(f(x), l) < \epsilon$.
En este caso, podemos probar $l$ es único y escribimos $\lim\limits_{x\to a}f(x) = l$
En esta formulación de límites, tenga en cuenta que la función $f$ no tiene que estar definido en todo el espacio $X$. Solo necesita definirse en un determinado subconjunto$E$ (es muy posible que $X\setminus E$es un conjunto infinito, pero esto no importa). Además el punto,$a$, donde estamos calculando el límite ni siquiera tiene que ser un elemento de $E$; solo necesitamos$a$ ser un punto límite de $E$.
En tu caso, tomamos $X=\Bbb{R}^2, Y= \Bbb{R}$ (ambos con las métricas euclidianas habituales) y $E = \{(x,y)\in\Bbb{R}^2| \, xy \neq 0\}$. En este caso, definimos$f:E\to Y= \Bbb{R}$ por $f(x,y) = \frac{\arctan(xy)}{xy}$y el punto $(0,0)$ es sin duda un punto límite del conjunto $E$. Por lo tanto, ciertamente podemos intentar calcular el límite (y en este caso el límite existe y es igual a$1$... si necesita más detalles sobre eso, hágamelo saber)