¿Por qué el hecho de que podamos forzar la hipótesis del continuo no prueba rotundamente la hipótesis del continuo?
Estoy leyendo Forcing for Mathematicians de Nick Weaver y en el Capítulo 12 ("Forcing CH") comienza con esto (pág. 45 - 46):
(Todo aquí está relativizado a $M$ - que en su libro es un modelo de ZFC).
Dejar $P_1$ ser el conjunto de todas las funciones parciales de $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ a $\aleph_1$ (que es una noción forzada) y deja $G$ ser un ideal genérico de $P_1$. Dado que los elementos de$G$ son funciones que deben ser consistentes (ya que $G$ es un ideal) puedes tomar la unión de ellos para construir una función $\tilde{f}$ de un subconjunto de $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ a un subconjunto $\aleph_1$.
Luego prueba que:
- $\tilde{f}$ es una biyección (no solo una función) de un subconjunto de $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ a un subconjunto $\aleph_1$ ya que parchear biyecciones consistentes juntas le da una biyección.
- El dominio de $\tilde{f}$ es todo de $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ ya que $G$ es genérico.
- El rango de $\tilde{f}$ es todo de $\aleph_1$ ya que $G$ es genérico.
Por lo que puedo decir, dado cualquier modelo $M$ de ZFC (es decir, cualquier conjunto para el que se cumple ZFC), hay una biyección de $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ a $\aleph_1$ y por lo tanto la hipótesis del continuo es verdadera.
Sé que sigue hablando de $M[G]$ pero, por lo que puedo decir, cualquier $M[G]$ es solo otro modelo de ZFC y bien podría haber sido el set que elegimos para $M$.
Respuestas
Pero la biyeccion $\widetilde f$ no está dentro $M$, ese es todo el punto. Está dentro$M[G]$. Lo que ha mostrado es simplemente que para cada modelo de$\sf ZFC$, hay un modelo más grande en el que $\sf CH$ es verdad.
Para ver eso de hecho $\widetilde f\notin M$, tenga en cuenta que dada cualquier función$g\colon \mathcal P(\Bbb N)\to\omega_1$, hay un conjunto denso de condiciones $p$ tal que $p\nsubseteq g$. Por tanto, por genérico,$\widetilde f\neq g$. Si$\widetilde f$ no es igual a ninguna función en $M$, entonces no puede estar en $M$.
(Esta es, en términos más generales, la razón por la que siempre que un forzamiento no es trivial, no hay filtros genéricos en el modelo básico).
La clave aquí es que $G$ se requiere que sea genérico sobre $M$, y como consecuencia $G \not\in M$.
Como habrá notado, si puede hacer un modelo de ZFC que contenga $G$ y que concuerda con $M$ acerca de $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ y $\aleph_1$son, entonces en ese modelo CH se mantendrá. Forzar nos dice cómo construir tal modelo y, por lo tanto, nos muestra que dado un modelo$M$podemos hacer un modelo donde CH se sostiene. Eso nos permite mostrar la consistencia relativa de ZFC + CH, pero no prueba CH.
Permítanme agregar un par de puntos a las respuestas existentes:
Primero, hay un punto clave que no se ha mencionado en las respuestas existentes: es importante tener en cuenta que los genéricos no siempre existen . Solo se nos garantiza la existencia cuando$M$es contable . Entonces la declaración
Cada $M\models\mathsf{ZFC}$ es un submodelo de algunos $N\models\mathsf{ZFC+CH}$
no es realmente cierto, necesitamos restringir a contables $M$s. De hecho, si$\mathsf{CH}$ es falso en realidad, entonces hay algo $M$ sin extensión final satisfactoria $\mathsf{CH}$: es decir, cualquier modelo que contenga todos los reales.
Un par de comentarios secundarios:
"Cada contable $M\models\mathsf{ZFC}$ es un submodelo de algunos contables $N\models\mathsf{ZFC+CH}$" es cierto, ¡no necesitamos que estos modelos contables estén bien fundamentados! Esto no es obvio, pero no es difícil de mostrar y es un buen ejercicio para" ejecutar todas las recursiones internamente ".
Nosotros podemos hablar de forzar las extensiones de los modelos arbitrarios (y de hecho$V$sí mismo!) a través del enfoque del modelo de valor booleano para forzar. Este es el enfoque adoptado en Jech, por ejemplo. Sin embargo, aunque fascinante e importante, en mi opinión, también es sustancialmente menos intuitivo que el enfoque poset.
En segundo lugar, para el valor pedagógico, permítanme dar un ejemplo donde la importancia de $G\not\in M$ es más descaradamente obvio, a saber, el colapso de Levy $Col(\omega,\omega_1)$.
$Col(\omega,\omega_1)$ es el forzamiento más simple para hacer $\omega_1$ contable: consta de funciones parciales finitas $\omega\rightarrow\omega_1$, ordenado por extensión inversa como se esperaba. Ya que para cada$\alpha\in\omega_1$ el conjunto $\{p: \alpha\in ran(p)\}$ es denso, un genérico $G$ (o más bien, la unión de las condiciones en tal $G$) es una sobreyección de $\omega$ a $\omega_1$.
Más precisamente, y restringiéndonos a modelos transitivos contables por simplicidad, tenemos:
Si $M$ es un modelo transitivo contable de $\mathsf{ZFC}$ y $G$ es $Col(\omega,\omega_1^M)$genérico terminado $M$ luego $M[G]\models\omega\equiv\omega_1^M$.
Pero a diferencia $\mathsf{CH}$, es obvio que no podemos tener un fenómeno del "mismo modelo": no hay $M\models\mathsf{ZFC}$ tal que $M\models \omega\equiv\omega_1^M$. Por lo tanto, considerar este ejemplo primero puede ayudarlo a ver por qué la fuerza no puede implicar la verdad en general.
Finalmente, permítanme terminar con una nota positiva. A pesar de lo anterior, son algunas veces cuando el "forceability" de una oración implica su verdad pura y simple:
El teorema de absolutidad de Shoenfield dice que la verdad de$\Pi^1_2$ las oraciones no se pueden cambiar forzando, así que si $G$ es genérico terminado $M$ y $M[G]\models\varphi$ con $\varphi\in\Pi^1_2$ luego $M\models\varphi$y viceversa (en realidad Shoenfield dice algo más que esto, pero meh). Pero este fenómeno es, en general, raro.
Para modelos especiales de $\mathsf{ZFC}$podemos obtener resultados absolutos más fuertes. Específicamente, axiomas cardinales grandes y fuertes implican mayores cantidades de absoluto (por ejemplo, si recuerdo correctamente, si$M\models\mathsf{ZFC}$ + "Hay infinitos cardenales Woodin", entonces todas las oraciones proyectivas son absolutas entre $M$ y sus extensiones genéricas).
Sin embargo, en general el absolutismo es bastante raro y ciertamente nunca debe darse por sentado.