Por que es$x(t)$no periódico pero$x[n]$¿es?
He estado estudiando señales y sistemas y me encontré con este problema.
Por definición,$x(t)$denota señal de tiempo continuo y$x[n]$denota una señal de tiempo discreto.
$x(t)$es periódico si existe una constante$T>0$tal que$x(t) = x(t+T)$para todos$t$es un subconjunto de los números reales.
$x[n]$es periódico si existe una constante$N>0$tal que$x[n] = x[n+N]$para todos$n$es un subconjunto de enteros.
Entonces me encontré con esta pregunta: ¿Por qué es$x(t)$¿aperiódico?
$x(t) = \cos((\pi t^2)/8)$
El trabajo que hice es el siguiente:
$x(t+T) = \cos((\pi(t+T)^2)/8$
Asumir$x(t) = x(t+T)$
es decir$(\pi t^2)/8 + 2\pi k = (\pi(t+T)^2)/8$
$\Rightarrow t^2 + 16k = (t+T)^2 \Rightarrow 16k = T^2 + 2tT $
Considerando$k$es un número entero, ¿no es periódico? Por favor, hágamelo saber si mi cálculo es incorrecto.
Disculpas si estoy publicando un tema irrelevante y gracias por tus comentarios.
Respuestas
Tú has mostrado*:
Si$x(t)$es periódica, entonces hay alguna$T>0$tal que$\dfrac{T^2+2tT}{16}$es un entero para todo real$t$.
*Editar: como señaló @SHW en los comentarios, esto no es del todo cierto. Más bien, debería ser
$x(t)$es periódico si y sólo si hay algún$T > 0$tal que al menos uno de$\dfrac{T^2+2tT}{16}$o$\dfrac{T^2+2tT + 2t^2}{16}$es un entero para todo real$t.$
Ya que$T \neq 0$, debería ser bastante evidente que habrá algunos$t$tal que ninguna de esas expresiones da un número entero, lo que demuestra que$x(t)$no es periódico.
Para demostrarlo, tenga en cuenta que, para cada número entero$k$, existe un único real$t$tal que$\dfrac{T^2+2tT}{16} = k$y como máximo dos números reales$t$tal que$\dfrac{T^2+2tT + 2t^2}{16} = k.$Dado que hay muchos enteros numerables, hay muchos numerables$t$tal que al menos uno de$\dfrac{T^2+2tT}{16}$o$\dfrac{T^2+2tT+2t^2}{16}$es un número entero. Dado que hay incontables números reales, debe haber algún número real$t$tal que ninguna de las expresiones da como resultado un número entero.
Como mencioné anteriormente, esto muestra$x(t)$no es periódico.
Por otro lado, podríamos establecer por ejemplo$T=8$para ver eso$\dfrac{T^2+2tT}{16}$es un entero siempre que$t$es un número entero, mostrando$x[n]$es periódico.
Dejar$x(t) = \cos(\frac{\pi t^2}{8})$. Si$x(t)$es periódico con$T$entonces existe$T \gt 0$tal que$x(t) = x(t+T)$para todos$t \in \mathbb{R}$. Entonces en este caso tenemos$$\cos(\frac{\pi (t+T)^2}{8}) = \cos(\frac{\pi t^2}{8})$$Si$t = 0$después$\cos(\frac{\pi T^2}{8}) = 1$. Diferenciar ambos lados y dejar$t = 0$tenemos$$ T\sin(\frac{\pi T^2}{8}) = 0$$Significa$T = 0$o$\sin(\frac{\pi T^2}{8}) = 0$. El primer caso no está permitido por lo que concluimos que$\sin(\frac{\pi T^2}{8}) = 0$. Si diferenciamos dos veces y otra vez sea$t = 0$después$$-\frac{\pi}{16} (4 \sin(\frac{\pi T^2}{8}) + \pi T^2 \cos(\frac{\pi T^2}{8})) = 0$$La combinación de los resultados conduce a la$T = 0$que no está permitido según$T \gt 0$. La motivación para usar la diferenciación aquí es que$\frac{d}{dt}\cos(u(t)) = -u'(t)\sin(u(t))$que nos ayuda a conseguir$T$fuera de$\cos$función y llega a una contradicción. Por supuesto, la respuesta de Brian es mucho más elegante y no requiere cálculos derivados.