¿Por qué la unicidad del cociente y el resto de g (x) por f (x) en un anillo polinomial R [x] implica g (x) + (f (x)) = r (x) + (f (x)) como clases de (f (x)) en R [x]?

Question

He estado leyendo el capítulo de álgebra $0$ de Aluffi y me cuesta entender lo siguiente:

Primero, el autor prueba el lema:

Dejar $f(x)$ ser un polinomio mónico y asumir $$f(x)q_1(x)+r_1(x)=f(x)q_2(x)+r_2(x)$$ con ambos $r_1(x)$ y $r_2(x)$ polinomios de grado $< \deg f(x)$. Luego$q_1(x) = q2(x)$ y $r_1(x) = r_2(x).$

Luego se afirma que este lema se puede resumir de la siguiente manera:

Asume entonces que $R$es un anillo conmutativo. Si$f(x)$ es monico entonces para cada $g(x)\in R$ existe un polinomio único $r(x)$ de grado $<\deg f(x)$ y tal que $$g(x)+(f(x))=r(x)+(f(x))$$ como clases sociales del ideal principal $(f(x))$ en $R[x]$.

¿Cómo puedo ver que la última afirmación se sigue del lema?

Gracias

Answer 1

$f(x)q_1(x)+r_1(x)=f(x)q_2(x)+r_2(x)\implies r_1(x)-r_2(x)=f(x)(q_2(x)-q_1(x))\implies $ grado de $r_1(x)-r_2(x)$ es al menos igual al grado de $f(x)$ como grado de $r_1(x) $ es menor que la de $f(x) $ o $r_1(x)=0$. Similarmente para$r_2$.
Entonces debemos tener$r_1(x)-r_2(x)=0$ de donde por la igualdad anterior, se sigue que $q_1(x)=q_2(x)$