¿Por qué las ecuaciones de Maxwell no están sobredeterminadas? [duplicar]

Jan 03 2021

Considere las cuatro ecuaciones diferenciales en la tabla dada en wikipedia aquí y suponga que no hay distribución de carga en ningún momento y, por lo tanto, tampoco corriente. Si no hay cargo, las cuatro ecuaciones se reducen a lo siguiente:

$\nabla\cdot E = 0$
$\nabla\cdot B = 0$
$\frac{\partial B}{\partial t} = -\nabla\times E$
$\frac{\partial E}{\partial t} = c^2\nabla\times B$

Las dos últimas ecuaciones nos dicen cómo los campos magnético y eléctrico cambian con el tiempo respectivamente, por lo que dados algunos campos magnéticos y eléctricos iniciales, uno debería poder determinar cualquier estado futuro de ambos campos. Esto hace que las dos primeras ecuaciones me parezcan redundantes y, por lo tanto, el sistema parece demasiado determinado. Sin embargo, son claramente necesarios, por lo que debo estar perdiendo algo. ¿Son las dos primeras ecuaciones simplemente condiciones iniciales?

Respuestas

2 josephh Jan 03 2021 at 15:36

Las dos primeras ecuaciones de Maxwell describen campos eléctricos y magnéticos estáticos. De estas ecuaciones aprendemos las propiedades geométricas de tales campos y la naturaleza de las líneas de fuerza que estos campos producen. El primero (cuando hay carga presente)

$$\nabla \cdot \vec E = \rho$$

nos lleva a determinar la forma del campo eléctrico para cualquier tipo de distribución de carga. Esto es extremadamente importante para el estudio de la electrostática. Además, esta ecuación se puede utilizar para derivar la ecuación de Poisson,

$$\nabla^2 V = -\rho$$

que nos permite determinar el potencial electrostático $V$para diversas distribuciones de cargos. También podemos usar la ecuación de Maxwell anterior para derivar la ley de Coulomb (aunque esta ley no es necesariamente un resultado directo de esta ecuación solamente). La ecuación de Poisson también es una herramienta muy poderosa en el estudio de la electrostática. Esta ecuación también tiene aplicaciones poderosas en la física de semiconductores.

La segunda ecuación que mencionas,

$$\nabla \cdot \vec B = 0$$

nos dice algo muy importante, que es que los monopolos magnéticos no existen. La implicación matemática de esta ecuación es que debe existir un potencial de vector magnético$\vec A$ dónde

$$\vec B = \nabla \times \vec A$$

Este es un poderoso resultado matemático. Este potencial de vector magnético es omnipresente en la electrodinámica clásica y la electrodinámica cuántica.