¿Por qué no sustituye muy grande $n$ dentro $(1+1/n)^n$ dar valores que se acercan al número de Euler $e$?

Aug 18 2020

Me gustaría preguntar cuál es el número de Euler $e$? No lo entiendo.

Lo que yo sé:

  • $e$ es $\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$ como $n$ alcanza el infinito

  • $e$ es $2.718281828\ldots$

Pregunta:

Si entro $n = 1\ 000\ 000\ 000\ 000$, Yo obtengo $2.718523496\ldots$, que es mayor que $2.718281828\ldots$.

Si sigo y entro $n = 1\ 000\ 000\ 000\ 000\ 000$, Yo obtengo $3.035035207\ldots$ que es mucho más alto que $2.718281828\ldots$.

Creo que me perdí algo o cometí un error.

¿Entendí mal la fórmula? ¿Es la fórmula y la$2.718281828$ arriba sólo una aproximación?

Realmente agradecería cualquier explicación, aclaración y corrección. :)

¡Muchas gracias por tu tiempo!

Respuestas

3 AnginaSeng Aug 19 2020 at 02:17

Aquí hay un análisis de errores. Si$$a_n=\left(1+\frac1n\right)^n$$ luego $$\ln a_n=n\ln\left(1+\frac1n\right)=n\left(\frac1n-\frac1{2n^2}+\frac1{3n^3}-\cdots\right)=1-\frac1{2n}+\frac1{3n^2}-\cdots.$$ Para grande $n$, $\ln a_n$ está muy cerca de $$1-\frac1{2n}$$ y entonces $a_n$ esta cerca de $$e\exp(-1/(2n))=e\left(1-\frac1{2n}+\frac1{8n^2}-\cdots\right).$$ En realidad el $1/(8n^2)$ término aquí es falso ya que descuidé el $1/(3n^2)$ término en la expansión de $\ln a_n$. Pero una burda estimación de$a_n$ es eso $$a_n\approx e-\frac{e}{2n}.$$ El error es un poco peor que $1/n$.

Tomando $n=10^{12}$ decir, te mueves $11$ a $12$lugares decimales correctos. El error que obtiene con la calculadora se debe sin duda a la falta de precisión de su representación de números de coma flotante. Probablemente desborde .

RossMillikan Aug 19 2020 at 02:54

Las matemáticas de coma flotante en una computadora no son lo mismo que el cálculo matemático real. Cuando solíamos$32$ poco flota, que solo dio $23$ trozos de mantisa, sobre $7.2$dígitos decimales, era un problema que preocupaba a todos y grandes secciones de los cursos de análisis numérico se concentraban en evitar los problemas de precisión numérica. Ahora que los flotadores son$64$ bits con $53$trozos de mantisa el problema se ha reducido considerablemente, pero aún puede tener un problema. Cuando subes a una potencia muy pequeña, puedes pensar en$(1+\frac 1n)^n=e^{(\log(1+\frac 1n)n)}$ y expandir $\log(1+\frac 1n)$ en una serie de Taylor.