¿Por qué QED es renormalizable?

Aug 19 2020

Mi comprensión de la renormalización es que una teoría es renormalizable si las divergencias en sus amplitudes pueden cancelarse en un número finito de términos. Veo que agregando contraterrminos (en el esquema de barra MS)

$$L_{ct}=-\frac{g^2}{12\pi^2}\left(\frac{2}{\epsilon}-\gamma+\ln4\pi\right),$$

la divergencia de un bucle de QED puede hacerse finita. Sin embargo, no veo cómo esto hace que QED sea renormalizable. Seguramente a medida que trabajemos con diagramas con más bucles, obtendremos más contraterrminos, dado que podemos tener diagramas con arbitrariamente muchos bucles, ¿no necesitamos un número infinito de contraterminos para cancelarlos?

Respuestas

3 ACuriousMind Aug 19 2020 at 04:14

QED tiene solo un número finito de diagramas divergentes irreducibles. La noción principal de divergencia de un diagrama es el recuento de potencias: el término que cada diagrama representa tiene la forma de una fracción como$$ \frac{\int\mathrm{d}^n p_1\dots\int\mathrm{d}^n p_m}{p_1^{i_1}\dots p_k^{i_k}}$$ y puede calcular la diferencia entre la potencia de impulso en el numerador y denominador y llamarlo $D$. Heurísticamente el diagrama diverge como$\Lambda^D$ en una escala de impulso $\Lambda$ Si $D > 0$, me gusta $\ln(\Lambda)$ Si $D=0$, y es finito si $D < 0$. Esto puede fallar: el diagrama puede ser divergente para$D < 0$ - si contiene un subdiagrama divergente más pequeño.

Si calcula la estructura general de $D$para los diagramas de QED, debería poder convencerse de que QED solo tiene un número finito de diagramas irreducibles de una partícula divergentes . Que cancelar los diagramas irreductibles es suficiente para cancelar iterativamente las divergencias en todos los diagramas de orden superior que los contienen en combinaciones arbitrarias para todos los órdenes es una declaración no trivial a veces llamada el teorema BPHZ, cuyo significado técnico, aunque no con este nombre, se explica. por el artículo de Scholarpedia sobre renormalización de BPHZ .

1 ocf001497 Aug 19 2020 at 03:57

Obtenemos un número infinito de contraterminos, pero todos serán de la misma forma (o en un conjunto cerrado), es solo que los coeficientes frente al término se expandirán en una serie de potencias de la constante de acoplamiento. Lo que significa "número infinito de contraterrminos -> no renormalizable", al menos según mi entendimiento, es algo así como la teoría phi ^ 5. Tendremos que agregar un número infinito de contraterminos, como phi ^ 6, phi ^ 7, phi ^ 8, ..., para cancelar la divergencia, y esto continúa para siempre. Esto es diferente de QED en que solo necesitamos un número finito de contraterminos, pero los coeficientes frente a ellos se determinan orden por orden.