¿Por qué un conjunto convexo cerrado contiene líneas si y solo no tiene puntos extremos? [duplicar]

Aug 17 2020

Dejar$A\subset\mathbb R^n$ser cerrado y convexo. A puntos$x\in A$se dice que es un punto extremo si no se puede representar como una combinación convexa no trivial de puntos en$A$. Dejar$\operatorname{ext}A$denota el conjunto de puntos extremos de$A$.

Me he topado con la observación de que "$A$contiene líneas si y solo si no tiene puntos extremos "(página 37, comentario 1, en Hug and Weil (2010) , el pdf se puede encontrar aquí ).

Puedo ver que si$A$contiene una línea$L$, entonces no puede tener puntos extremos. De hecho, dada cualquier$x\notin L$, entonces el cierre convexo (cerrado) de$\{x\}\cup L$debe ser igual a todo lo que hay entre$L$y la recta paralela a$L$intersección$x$, y tal conjunto no tiene puntos extremos. Geométricamente, esto equivale a la siguiente construcción:

$\qquad\qquad\qquad$

Sin embargo, no estoy seguro de cómo proceder en la otra dirección. ¿Cómo demuestro que si$A$no contiene líneas, entonces debe haber al menos un punto extremo (o de manera equivalente, que la ausencia de puntos extremos implica que al menos una línea está contenida en$A$)?

Respuestas

2 DanielFischer Aug 17 2020 at 00:43

$A$debe asumirse no vacío, por supuesto. Entonces podemos usar la inducción en la dimensión.

En$\mathbb{R}^1$, un conjunto convexo cerrado no vacío$A$que no contiene línea tiene una de las formas$(-\infty, a]$,$[a, +\infty)$, o$[a,b]$(con$a \leqslant b$), y por todos estos$a$es un punto extremo de$A$.

Para el paso de inducción, sea$x \in A$y considere una línea arbitraria$L$que pasa a través$x$. Ya que$L \not\subset A$hay un punto$y \in L\setminus A$. Dejar$s = \max \{ t \in [0,1] : x + t(y-x) \in A\}$y$z = x + s(y-x)$. Entonces hay un hiperplano de apoyo para$A$que pasa a través$z$. Esto está dado por$$ H = \{\xi : \langle \xi, \eta\rangle = \langle z, \eta\rangle\}$$para algunos$\eta \in \mathbb{R}^n$con$\langle \eta, \eta\rangle = 1$. Podemos suponer sin pérdida de generalidad que$\langle \xi, \eta\rangle \leqslant \langle z, \eta\rangle$para todos$\xi \in A$.

Ahora$A_H = A \cap H$es un conjunto convexo cerrado en el hiperplano$H$(con el que podemos identificarnos$\mathbb{R}^{n-1}$) que no contiene línea y no está vacío (por$z \in A_H$). Por la hipótesis de inducción,$A_H$tiene puntos extremos. Pero un punto extremo de$A_H$es también un punto extremo de$A$, porque si un punto$p$de$A_H$se representa como una combinación convexa de dos puntos de$A$, entonces estos dos puntos deben estar ambos en$A_H$. De este modo$A$tiene puntos extremos.

glS Aug 18 2020 at 21:20

Aquí hay una ligera reformulación de la otra respuesta .

Quiero probar que un cerrado, convexo, no vacío$A\subset\mathbb R^n$que no contiene líneas, siempre contiene al menos un punto extremo.

los$\mathbb R^1$caso es trivial: el único posible$A$son intervalos cerrados finitos o segmentos infinitos de la forma$[a,\infty)$y$(-\infty,a]$. Supongamos, por tanto, que el enunciado es verdadero para$A\subset\mathbb R^{n-1}$.

Dejar$x\in A$sea ​​un punto arbitrario, y sea$L$ser una línea que pasa a través$x$. De este modo$x\in L$, y por hipótesis$L\not\subset A$. Entonces habrá algunos$y\in L\setminus A$. Deja entonces$z\in L\cap \operatorname{conv}(\{x,y\})$ser un elemento en el límite de$A$, dejar$H$ser el hiperplano de apoyo para$A$que pasa a través$z$, y considere el conjunto$A_H\equiv A\cap H$. He aquí una representación de esta construcción en$\mathbb R^2$:

En este caso sencillo,$H$debe ser una línea y por lo tanto$A_H\subset\mathbb R^1$contiene un punto extremo según la hipótesis de inducción (en este caso particular$A_H=\{z\}$). Más generalmente,$A_H$será un subconjunto cerrado, convexo y no vacío de$\mathbb R^{n-1}$, y por lo tanto contienen puntos extremos.

Ahora sólo queda demostrar que un punto extremo de$A_H$es también un punto extremo para$A$. En otras palabras, debemos probar que si$p\in A_H$después$p\notin \operatorname{conv}(A\setminus A_H)$. Al efecto, recordamos que$A_H$se define como la intersección entre$A$y un hiperplano, lo que significa que hay algo$\eta\in\mathbb R^n$y$\alpha\in\mathbb R$tal que, definiendo$f(\xi)\equiv \langle \eta,\xi\rangle$, tenemos$f(\xi)\le \alpha$para todos$\xi\in A$, y$f(\xi)=\alpha$para todos$\xi\in A_H$.

Pero entonces, si$p\in A_H$eran una combinación convexa de elementos de$A$,$p=\sum_k \lambda_k a_k$con$a_k\in A, \sum_k\lambda_k=1, \lambda_k\ge0$, después$$\sum_k \lambda_k f(a_k) = f(p)= \alpha,$$que solo es posible si$f(a_k)=\alpha$para todos$k$, es decir , si$a_k\in A_H$.