¿Por qué un isomorfismo natural $A \cong TA \oplus (A / TA)$ implica que $A \twoheadrightarrow A/TA \rightarrowtail TA \oplus (A / TA)$ ¿es natural?

Question

$\newcommand{\abcat}{\text{Ab}_\text{fg}}$ $\newcommand{\tgroup}{TA \oplus (A/TA)}$ $\newcommand{\epi}{\twoheadrightarrow}$ $\newcommand{\mono}{\rightarrowtail}$ Dejar $A$ ser un objeto en la categoría $\abcat$de grupos abelianos finitamente generados. Y deja$TA$ denotar su subgrupo de torsión.

En Teoría de categorías en contexto, el autor demuestra que los isomorfismos$A \cong \tgroup$ no son naturales en la proposición 1.4.4.

La prueba comienza con lo siguiente (nota, $\epi$ denota un epimorfismo, y $\mono$ denota un monomorfismo)

Supongamos que los isomorfismos $A \cong \tgroup$ eran naturales en $A$. Entonces el compuesto

$$A \epi A/TA \mono \tgroup \cong A$$

del mapa de cociente canónico, la inclusión en la suma directa y el isomorfismo natural hipotetizado definirían un endomorfismo natural del functor de identidad en $\abcat$

Mi pregunta principal es simple: "¿por qué?".

Pero tengo algunas confusiones que pueden relacionarse con por qué tengo problemas con la pregunta principal.

Confusión 1 Una transformación natural es entre functores$F, G : C \rightrightarrows D$, entonces, ¿cuáles son exactamente los functores en el isomorfismo natural propuesto? Supongo que uno de los functores$F$ es el functor de identidad en $\abcat$. Entonces tal vez el otro functor$G$ es un functor endomórfico en $\abcat$ donde la acción sobre un objeto de $\abcat$ es $$A \mapsto \tgroup$$pero entonces, ¿cómo mapean los morfismos el functor? Anteriormente, el autor afirma:

En la práctica, suele ser más elegante definir una transformación natural diciendo que las flechas $X$ son naturales, lo que significa que la colección de flechas define los componentes de una transformación natural, dejando implícitas las elecciones correctas de los functores de dominio y codominio, y las categorías de origen y destino.

Pero como soy nuevo en esto, no estoy seguro de cómo estas elecciones "correctas" son "implícitas". También puede darse el caso de que el autor esté probando que no hay functores que tengan un isomorfismo natural entre ellos y que también mapeen los objetos de$\abcat$de la forma descrita anteriormente. ¿Es eso lo que está pasando aquí?

Confusión 2 Si el functor$G$ realmente mapea los objetos $A$ a los objetos $\tgroup$ entonces no veo como el isomorfismo $A \cong \tgroup$tiene algo que ver con un epimorfismo natural$A \epi A/TA$o un monomorfismo natural$A /TA \mono \tgroup$desde una perspectiva categórica. Tengo la nebulosa sensación de que es cierto intuitivamente. Sin embargo, no entiendo cómo una transformación natural podría implicar esto usando solo la teoría de categorías formalmente. (A menos que me lo perdiera, el autor no ha definido$\oplus$ utilizando la teoría de categorías todavía, ¿sería necesario?)

Supongo, por la forma en que se redactó esta primera parte de la prueba y también por las pruebas y ejemplos anteriores en el libro, que aquí solo necesitamos un argumento categórico simple , y que ni un argumento teórico de grupo ) o es necesario un argumento categórico extremadamente complicado. Pero no veo cuál es el argumento.

Answer 1

Dejar $\mathcal{A}$ser la categoría de grupos abelianos generados finitamente. El mapeo$A \mapsto TA \oplus (A/TA)$ se extiende a un endofunctor $F: \mathcal{A} \to \mathcal{A}$ de la siguiente manera: toma un morfismo $f: A \to B$de grupos abelianos finamente generados. Construye el morfismo$Ff: TA \oplus (A/TA) \to TB \oplus (B/TB)$ como sigue:

• $f$ asigna elementos de torsión a elementos de torsión (si $n \cdot a = 0$, luego $n \cdot f(a) = f(n \cdot a) = 0$, entonces $n \cdot a$ es torsión), entonces $f$ induce un morfismo $f|_{TA}: TA \to TB$ por restricción;
• Hay un morfismo $g: A/TA \to B/TB$ definido poniendo $g(a + TA) = f(a) + TB$. Este bien definido: si$a + TA = a' + TA$, luego $a - a'$ es en $TA$ y $f(a - a') = f(a) - f(a')$ es en $TB$ por la observación anterior, entonces $$g(a + TA) = f(a) + TB = f(a') + TB = g(a' + TA) $$ y $g$está bien definido. Darse cuenta de$g$ es también un morfismo de grupos porque $f$ es;
• ahora ponemos $Ff = f|_{TA} \oplus g$. Es decir, un elemento$(a, a' + TA)$ de $TA \oplus (A/TA)$ se asigna a $(f(a), f(a') + TB)$ en $TB \oplus (B/TB)$ por $Ff$.

Ahora es bastante fácil demostrar que $F$es de hecho un functor. Lo que hice puede parecer complicado, pero de hecho es bastante tautológico: "tomar torsión" es un functor$T: \mathcal{A} \to \mathcal{A}$, "Modificar por torsión" es un functor $(-)/T(-): \mathcal{A} \to \mathcal{A}$ y "tomar sumas directas" es un functor $\oplus: \mathcal{A} \times \mathcal{A} \to \mathcal{A}$: al ensamblar apropiadamente esos tres functores obtienes $F$.

Luego diciendo que hay isomorfismos naturales $A \cong TA \oplus (A/TA)$ significa que hay un isomorfismo natural $\eta: F \Rightarrow \mathsf{id}_{\mathcal{A}}$ Entre $F$ y el endofunctor de identidad (piénselo: esto consiste en una familia de isomorfismos $\eta_A: TA \oplus (A/TA) \cong A$ para cada objeto $A$ de $\mathcal{A}$).

Ahora hay una transformación natural $\theta: \mathsf{id}_{\mathcal{A}} \Rightarrow F$ tal que para un grupo abeliano finitamente generado $A$, el morfismo $\theta_A: A \to TA \oplus (A/TA)$ es la composicion $A \to A/TA \to TA \oplus (A/TA)$(Pruébalo). Si$\eta$ como existe arriba, puede considerar la composición $\eta \circ \theta: \mathsf{id}_{\mathcal{A}} \Rightarrow F \Rightarrow \mathsf{id}_{\mathcal{A}}$, que es explícitamente la composición $A \to A/TA \to TA\oplus A/TA \to A$ (donde está el último morfismo $\eta_A$). Ya que$\eta$ se supone natural (por contradicción) y $\theta$ es natural, el compuesto$\eta \circ \theta$ debe ser un endomorfismo natural del functor de identidad, y esto es exactamente lo que el autor quiere decir con “el isomorfismo natural hipotetizado definiría un endomorfismo natural del functor de identidad”.