Positividad de un operador

Question

Considere una función$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$de clase$C^1$. Si$f(0)=0$y$f'(0)>0$es claro que existen algunos$t_0>0$tal que$f(t_0)>0$.

Ahora si$f:\mathbb{R}\to \mathcal{M}^{n\times n}(\mathbb{R})$de clase$C^1$, dónde$\mathcal{M}^{n\times n}$Son reales$n\times n$matrices, si$f(0)=0$y si$f'(0)$es una matriz definida estrictamente positiva, de nuevo habrá una$t_0$tal que$f(t_0)$es una matriz definida estrictamente positiva.

La pregunta es, ¿es cierto incluso para los operadores? En particular, deja$f:\mathbb{R}\to \mathcal{O}$de clase$C^1$, dónde$\mathcal{O}$es el conjunto de operadores autoadjuntos compactos en algún espacio de Hilbert separable$\mathcal{H}$. Dejar$f(0)=0$y supongamos que$f'(0)$es un operador autoadjunto positivo compacto, ¿es cierto que debe haber un$t_0$tal que$f(t_0)$¿es positivo?

Answer 1

No. Contraejemplo: Let$H = \ell^2$y$M : H \to H$ser dado por

$$ M(x_1, x_2, \cdots, x_n , \cdots) = \left( x_1, \frac{x_2}{2}, \cdots, \frac{x_n}{n}, \cdots \right).$$

Después$M$es compacto (límites de operadores de rango finito), autoadjunto y positivo. próximo let$\varphi: \mathbb R \to \mathbb R$sea ​​una función impar suave tal que

• $\varphi(t) = t$en$[-1,1]$,
• $|\varphi (t)|\le 1.1$
• $\varphi$está disminuyendo en$[1.1, 2]$y
• $ \varphi(t) = 0$en$[2, \infty)$.

Para cada$n$, definir$\varphi_n (t) = \frac{1}{2^n }\varphi (2^n t)$. Definir$ M_t:=f(t)$por$$ M_t (x_1,x_2, \cdots, x_n, \cdots ) = \left(\varphi _1(t) x_1, \frac{\varphi_2(t)}{2} x_2, \cdots, \frac{\varphi_n (t)}{n} x_n, \cdots\right).$$

Después$M_0 = 0$y cada$M_t$es autoadjunto, de rango finito (por lo tanto, no positivo). También,$f$es$C^1$. Efectivamente se puede comprobar que$$f'(t) (x_1,x_2, \cdots, x_n, \cdots ) = \left( \varphi_1'(t) x_1, \frac{\varphi_2'(t)}{2} x_2, \cdots, \frac{\varphi_n'(t)}{n} x_n, \cdots \right).$$Ya que$\varphi_n'(0)=1$para todos$n$, tenemos$f'(0) = M$.