Predicate Logic en Coq [cerrado]

Question

¿Alguien puede ayudar con estos dos teoremas en lo que respecta a la lógica de predicados y el uso de coq? Tengo problemas para comprender la sintaxis de coq.

1. existe x: D, (R x / \ S x) | - (existe y: D, R y) / \ (existe z: D, S z)
2. existe x: D, (R x \ / S x) | - (existe y: D, R y) \ / (existe z: D, S z)

Answer 1

Si entendí bien, lo que estás buscando es demostrar que si un elemento satisface ambos Props , entonces hay un elemento específico que satisface cada Prop :

Lemma and : forall (D:Type)(R S:D -> Prop), 
(exists x:D, (R x /\ S x)) -> (exists y:D, R y) /\ (exists z:D, S z).

Y que si un elemento satisface al menos uno de los Props , entonces para uno de los Props , existe un elemento que lo satisface:

Lemma or : forall (D:Type)(R S:D -> Prop), 
(exists x:D, (R x \/ S x)) -> (exists y:D, R y) \/ (exists z:D, S z).

Las pruebas serían entonces bastante simples, como sigue:

Lemma and : forall (D:Type)(R S:D -> Prop), 
(exists x:D, (R x /\ S x)) -> (exists y:D, R y) /\ (exists z:D, S z).
Proof.
  intros. destruct H. destruct H as [H1 H2].
  split; exists x; [apply H1 | apply H2].
Qed.

Lemma or : forall (D:Type)(R S:D -> Prop), 
(exists x:D, (R x \/ S x)) -> (exists y:D, R y) \/ (exists z:D, S z).
Proof.
  intros. destruct H. 
  destruct H; [left | right]; exists x; apply H.
Qed.