Pregunta básica de homotopía
Estoy empezando a leer el libro "Teoría de la homotopía racional" de Yves Felix, Stephen Halperin, J.-C. Thomas y yo tenemos una pregunta rápida sobre el principio (que solo se refiere a la teoría básica de la homotopía en espacios y ni siquiera a la teoría de la homotopía racional). El libro demuestra un resultado conocido como "Lema de elevación de Whitehead" como Lema 1.5 (p. 12):
Supongamos que dado un diagrama (no necesariamente conmutativo): \ begin {array} {ccc} A & \ xrightarrow {\ varphi} & Y \\ \ \ downarrow i & & \ \ downarrow f \\ X & \ xrightarrow {\ psi} & Z , \ end {array} junto con a con una homotopía$H: A \times I \rightarrow Z$ de $\psi i$ a $f\varphi$.
Asumir $(X,A)$ es un complejo CW relativo y $f$es una equivalencia de homotopía débil. Luego$\varphi$ y $H$ se puede ampliar respectivamente a un mapa $\Phi: X \rightarrow Y$ y una homotopia $K: X \times I: \rightarrow Z$ de $\psi$ a $f \Phi$.
Luego, el libro continúa con algunos corolarios, y mi pregunta es: ¿Cómo es la siguiente declaración un corolario del Lema de elevación de Whitehead?
Si $(X, A)$ es un complejo CW relativo y $A$ tiene el tipo de homotopía de un complejo CW, entonces $X$ tiene el tipo de homotopía de un complejo CW.
Creo que podría lograr probar este resultado construyendo un complejo CW $\tilde{X}$ de $\tilde{A}$ (un complejo equivalente a $A$) pegando células usando los mapas adjuntos de $(X, A)$, y usando un resultado de preservación de equivalencias en expulsiones (como esta Equivalencias de homotopía en cuadrado de expulsión con cofibración ) en cada esqueleto, pero no veo cómo eso usa el Lema anterior, y el resultado que necesitaría sobre expulsiones y equivalencias aparece más adelante en el libro, creo.
Cualquier idea es bienvenida, ¡salud!
Respuestas
Dejar $A$ ser un complejo de CW y $X$ obtenido de $A$uniendo células inductivamente. Escribir$i:A\hookrightarrow X$ para la inclusión.
Para empezar deja $p:\widetilde X\rightarrow X$ser una aproximación CW (también conocido como modelo celular, ver Th.1.4). Desde$A$ es un complejo CW la equivalencia débil $p$ induce una biyección $p_*:[A,\widetilde X]\xrightarrow\cong[A,X]$(ver Co.1.6). Por lo tanto, hay un mapa$\widetilde i:A\rightarrow\widetilde X$ junto con una homotopía $H:p\widetilde i\simeq i$. Ahora considere el diagrama \ begin {array} {ccc} A & \ xrightarrow {\ widetilde i} & \ widetilde X \\ \ i \ downarrow & & \ \ downarrow p \\ X & \ xrightarrow {=} & X. \ end {array} Se cumplen los supuestos del Lema 1.5, por lo que hay un mapa$\varphi:X\rightarrow\widetilde X$ tal que $\varphi i=\widetilde i$ y $p\varphi\simeq id_X$. Por lo tanto$X$ es un retracto (homotopía) del complejo CW $\widetilde X$, y se sigue inmediatamente de esto que $X$ tiene el tipo de homotopía CW.
Ahora bien, el último hecho es cierto en la generalidad enunciada, pero estableceremos un enunciado más preciso para la situación actual: mostraremos que $X$ es homotopía equivalente a $\widetilde X$ como se esperaba.
Para este aviso que $p_*:[\widetilde X,\widetilde X]\rightarrow [\widetilde X,X]$ acepta $\varphi p$ a $p(\varphi p)=(p\varphi)p\simeq p$. Pero porque$p$ es una equivalencia débil el mapa inducido es biyectivo, por lo que la ecuación $p_*(\varphi p)=p_*(id_{\widetilde X})$ implica que $\varphi p\simeq id_{\widetilde X}$. Así tenemos el reclamo.