Pregunta de juego
Ejercicio 4.21: En un juego ganas \ $ 10 con probabilidad $ \ frac {1} {20} $ y pierdes \ $ 1 con probabilidad$\frac{19}{20}$. Calcule la probabilidad de que haya perdido menos de \ $ 100 después de los primeros 200 juegos. ¿Cómo cambiará esta probabilidad después de 300 juegos?
Intento :
Primero, mostramos las ganancias y las pérdidas juntas en una sola variable. Defina \ begin {ecuación *} W_n = 10S_n - (n - S_n) \ end {ecuación *} donde $ W_n $ denota las ganancias después de $ n $ juegos y $ S_n $ define el número de ganancias en $ n $ juegos. Por lo tanto, \ begin {ecuación *} P (W_n \ geq 100) = P (11S_n - n> -100) = P \ biggr (S_n> \ frac {n - 100} {11} \ biggr). \ end {ecuación *} Ahora, aplicamos el Teorema del límite central en cualquier caso, con diferentes valores de $ n $ .
Sea $ n = 200 $ , luego $ S_n \ sim Bin (200, \ frac {1} {20}) $ . Por tanto, deseamos $ S_n> \ frac {100} {11} $ . Además, $ E [S_n] = 200 \ cdot \ frac {1} {20} = 10 $ y Var $ (S_n) = 200 \ cdot \ frac {1} {20} \ cdot \ frac {19} {20} = \ frac {19} {2}. $ Por lo tanto, de CLT con la corrección de continuidad se sigue que \ begin {ecuación *} P \ biggr (\ frac {\ frac {100} {11} - 10} {\ sqrt { \ frac {19} {2}}} <\ frac {S_n - 10} {\ sqrt {\ frac {19} {2}}} \ biggr) \ approx 1 - \ Phi (-0.457169) \ approx 0.6772. \ end {ecuación *}
Ahora, el libro da una respuesta diferente para el primer caso de 200 juegos, que es de 0.5636. Deseo comprender mi error antes de pasar al siguiente caso.
Intuitivamente, esto también tiene sentido ya que la condición de $ S_n> \ frac {100} {11} $ debería estar cerca de la parte superior de la curva de campana de la distribución normal, ya que el valor esperado de 10 está cerca de $ \ frac {100} {11} $ . Sin embargo, durante toda mi vida, no puedo detectar el error en mi cálculo.
(La otra pregunta de Math Stack Exchange para estas preguntas no me aclaró nada esencialmente, de ahí esta publicación).
Perder menos de $ 100 en un juego de azar.
Respuestas
Si $X$ es el número aleatorio de victorias en $n$ juegos, entonces $$X \sim \operatorname{Binomial}(n = 200, p = 0.05)$$ y la variable aleatoria de ganancias / pérdidas netas es $$W = 10X - (n-X) = 11X - n.$$ Así $$\Pr[W > -100] = \Pr[11X - 200 > -100] = \Pr[X \ge 10].$$ Esta última expresión se debe al hecho de que $X$no puede tomar valores fraccionarios. Por consiguiente,$$\Pr[X \ge 10] = 1 - \sum_{x=0}^{9} \binom{200}{x} (0.05)^x (0.95)^{200-x} \approx 0.54529\ldots.$$ Esta es la probabilidad exacta: la única aproximación aquí está en el redondeo de la fracción a un decimal.
Esto también da una idea clave de por qué su respuesta es incorrecta: solo porque esté utilizando una aproximación normal con corrección de continuidad no significa los resultados para $W$ que desea incluir en la probabilidad deseada puede estar fuera del espacio muestral para $W$.
Por ejemplo, si $U \sim \operatorname{Binomial}(n = 500, p = 0.5)$y te pido $\Pr[U < 225.999]$, primero deberías escribir $\Pr[U < 225.999] = \Pr[U \le 225]$, luego aplica la corrección de continuidad para aproximarlo como$$\Pr\left[Z \le \frac{225.5 - 250}{5 \sqrt{5}}\right].$$Lo mismo se aplica aquí; así$$\Pr[W > -100] = \Pr[X \ge 10] \approx \Pr\left[\frac{X - 10}{\sqrt{9.5}} \ge \frac{9.5 - 10}{\sqrt{9.5}}\right] \approx \Pr[Z \ge -0.162221] \approx 0.564434.$$ Evidentemente, su texto se está redondeando antes de completar el cálculo, o está utilizando una búsqueda de tabla normal estándar sin interpolación, ya que $\Pr[Z \ge -0.16] \approx 0.563559$. En cualquier caso, la aproximación$$\Pr[Z \ge -0.457169] \approx 0.676225$$ se desvía demasiado.