Probabilidad de una cadena que contenga todos los caracteres
Dada una cadena de longitud$n$, sobre el$26$letras del alfabeto inglés, ¿cuál es la probabilidad de que contenga todas$26$de las letras?
Estaba pensando en esta dirección (pero no pude llegar a la respuesta).
Supongamos que a la pregunta original se le dio la longitud de la cadena, ¿cuál es la probabilidad de que contenga un A, y sería 1 - (la probabilidad de que no contenga un A) entonces
Pero no puedo extender esta idea a varios personajes. ¿Alguien me puede ayudar?
Respuestas
Suponiendo que las letras se eligen con la misma probabilidad e independientemente, entonces el problema es equivalente a: Lanzar$n$bolas dentro$m=26$urnas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que todas las urnas no estén vacías?
El conteo total (número de cadenas) es claramente$m^n$. Los eventos favorables son menos fáciles de contar, necesita usar el principio de inclusión-exclusión. El resultado viene dado por el número de Stirling de segunda clase , y aquí se da la explicación .
Por lo tanto el resultado final es
$$ p = \frac{m! \, S_{n,m}}{m^n} $$