Probar $\epsilon - \delta$ estilo que $\lim\limits_{x \rightarrow 2}x^2 \neq 6$ vía contradicción

Aug 19 2020

Pregunta: Demuestre$\epsilon - \delta$ estilo que $\lim\limits_{x \rightarrow 2}x^2 \neq 6$ vía contradicción

Entonces mi idea inicial es asumir $\lim\limits_{x \rightarrow 2} x^2 = 6$. Entonces para todos$\epsilon > 0$ $\exists$ $\delta > 0$ tal que $|x^2-6| < \epsilon \rightarrow0 < |x-2| < \delta$

Sin embargo, no estoy seguro de cómo mostrar una contradictio sin "enchufarla" ... ¿alguien me podría mostrar?

Respuestas

1 ZAF Aug 19 2020 at 07:57

Dejar $\varepsilon = 0.25 > 0 $

Tenemos eso para todos $\delta > 0$, si tomamos $\alpha = \text{min}\{0.1,\frac{\delta}{2} \}$, entonces tenemos eso $2\alpha + \alpha^{2} \leq 0.2 + 0.01 = 0.21$

Si tomamos $x = 2 + \alpha$, tenemos eso $|2+ \alpha - 2| = \alpha < \delta$, pero $|(2+ \alpha)^{2} - 6| = 6 - 4 - 2\alpha - \alpha^{2} \geq 2 - 0.21 > 1 > \varepsilon$. Entonces es una contradicción de la definición de límite