Probar $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n\log(n)}{\log(n!)} = 1$[duplicar]

Question

necesito probar$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n\log(n)}{\log(n!)} = 1$$pero estoy al final de mi ingenio. He buscado en la web, pero solo puedo encontrar ejemplos/respuestas que demuestren lo contrario = 0 y he probado un montón de métodos en vano (términos ampliados, regla de L'Hopitals con innumerables derivaciones diferentes que estaban todas mal). ¿Alguien puede indicarme la dirección correcta? Estoy completamente atascado...

Answer 1

Tenga en cuenta que$\log n! = \sum_{k=1}^n \log k$. Al dibujar los gráficos relevantes, puede ver:

$$\int_1^n \log x dx \le \sum_{k=1}^n \log k $$

$$\le \int_1^{n+1} \log x dx$$

Ahora calcula la integral$\int_1^m \log x dx = m \log m - m + 1$, por lo que lo anterior se convierte en

$$n \log n - n + 1 \le \log n! \le (n+1)\log(n+1)-n$$

Y ahora obtenemos tu resultado por el teorema de compresión, después de dividir.

Answer 2

$\log(n!)\ge \frac{n}{2}\log(\frac{n}{2})$y entonces$\dfrac{n\log(n)}{\log(n!)}\le \dfrac{n\log(n)}{\frac{n}{2}\log(\frac{n}{2})}$

Al evaluar este límite de la cota superior, obtendría$2$ya que$\lim_{n\rightarrow \infty} \dfrac{\log(n)}{\log(n/2)} = 1$. Sin embargo, si eliges$\epsilon >1$, verás

$\log(n!)\ge \frac{n}{\epsilon}\log(\frac{n}{\epsilon})$y entonces$$\dfrac{n\log(n)}{\log(n!)}\le \dfrac{n\log(n)}{\frac{n}{\epsilon}\log(\frac{n}{\epsilon})}\rightarrow \epsilon$$

y desde$\epsilon>1$(arbitrario), se puede concluir que$$\dfrac{n\log(n)}{\log(n!)}\le 1$$

(se puede obtener fácilmente el límite inferior), por lo que el límite debe ser$1$.

Answer 3

Utilizando$$\left( \frac{n}{e}\right)^n \lt n! \lt e \left( \frac{n}{2}\right)^n$$tenemos$$n \log \frac{n}{e} \lt \log n! \lt \log e+ n \log \frac{n}{2}$$

Adición.

Para el lado izquierdo, el primer paso de la inducción es claro. Luego$$(n+1)!=n!(n+1) \gt \left( \frac{n}{e}\right)^n (n+1) = \\ =\left( \frac{n+1}{e}\right)^{n+1} \frac{(n+1)\left( \frac{n}{e}\right)^n}{\left( \frac{n+1}{e}\right)^{n+1}} \gt \left( \frac{n+1}{e}\right)^{n+1}$$porque$(n+1)\left( \frac{n}{e}\right)^n \left( \frac{n+1}{e}\right)^{-n-1}\gt 1$es equivalente$\left(1+ \frac{1}{n}\right)^{n} \lt e$.

para el lado derecho$$n! \lt \left(\frac{n+1}{2}\right)^{n} = e\left(\frac{n}{2}\right)^{n} \frac{\left(\frac{n+1}{2}\right)^{n}}{e\left(\frac{n}{2}\right)^{n}} = \\ =e\left(\frac{n}{2}\right)^{n} \frac{\left(1+ \frac{1}{n}\right)^{n}}{e} \lt e\left(\frac{n}{2}\right)^{n}$$

Answer 4

$$\displaystyle \frac{x\ln \left(x\right)}{\ln \left(x!\right)}=\frac{x\ln\left(x\right)}{\ln\left(\Gamma \left(x+1\right)\right)}$$

Aplicando la regla de L'Hôpital,

$$\lim _{x\to \infty }\left(\frac{x\ln \left(x\right)}{\ln \left(\Gamma \:\left(x+1\right)\right)}\right)=\lim_{x\to \:\infty \:}\left(\displaystyle \frac{\ln(x)+1}{\psi \:^{\left(0\right)}\left(x+1\right)}\right)$$

Aplicando de nuevo, los rendimientos

$$\lim _{x\to \infty }\left(\frac{\frac{1}{x}}{\psi ^{\left(1\right)}\left(x+1\right)}\right)=\lim _{x\to \infty }\left(\frac{1}{x\left(\psi ^{\left(1\right)}\left(x+1\right)\right)}\right)$$

El denominador se aproxima a 1 como$x\rightarrow \infty$.