¿Probar que existe un límite es equivalente a demostrar que su valor es real (finito)?
Estoy estudiando el análisis de Tao I. Mi pregunta surge de probar resultados usando la ley límite, este es un ejemplo de la proposición 7.2.14 (c):
c) Deja $\sum\limits_{n=m}^{\infty}a_n$ ser una serie de números reales, y sea $k\geq 0$ser un número entero. Si una de las dos series$\sum\limits_{n=m}^{\infty}a_n$ y $\sum\limits_{n=m+k}^{\infty}a_n$ son convergentes, entonces el otro también lo es, y tenemos la siguiente identidad $$\sum\limits_{n=m}^{\infty}a_n=\sum\limits_{n=m}^{m+k-1}a_n +\sum\limits_{n=m+k}^{\infty}a_n$$
Mi intento de probar: deja $S_N=\sum\limits_{n=m}^{N}a_n$ y $T_N=\sum\limits_{n=m+k}^{N}a_n$, entonces tenemos $S_N=\sum\limits_{n=m}^{m+k-1}a_n+T_N$ para todos $N\geq m+k$, (la declaración también es válida cuando $N<m+k$ con $T_N=0$ y $S_N$ tiene términos cero redundantes después del índice $N$ ), tomando el límite como $N\to \infty$, tenemos $$\lim_{N\to\infty}S_N=\lim_{N\to\infty}\sum\limits_{n=m}^{m+k-1}+\lim_{N\to\infty}T_N$$ $$=\sum\limits_{n=m}^{m+k-1}+\lim_{N\to\infty}T_N,$$ dado que la suma finita es independiente de $N$.
Ahora asuma $\sum\limits_{n=m}^{\infty}a_n$ converge a $L$ , luego $\lim_{N\to\infty}S_N$ existe y es igual $L$, y deja $\sum\limits_{n=m}^{m+k-1}=M$, dado que las sumas finitas son convergentes, mi pregunta es si podemos usar los dos resultados anteriores para concluir que $\lim_{N\to\infty}T_N$ existe y es igual $L-M$.
¿O debería probar eso? $S_N$ es una secuencia de Cauchy si y solo si $T_N$¿es? Nuevamente, no estoy buscando una solución o una verificación de prueba, mi pregunta como dice el título: ¿probar la existencia de un límite es equivalente a mostrar que su valor es finito o no?
En términos más lógicos es el siguiente $equivalence$ afirmación verdadera: existe límite $\longleftrightarrow$ valor límite $\in \mathbb{R}$.
En caso afirmativo, ¿por qué no podemos asumir que existen límites, luego intentar calcular su valor y, si es real, concluir que existe, por ejemplo, al evaluar $\lim\limits_{n\to\infty}x^n$ y es igual $L$, luego $xL=\lim\limits_{n\to\infty}x^{n+1}=L$ , entonces tenemos $(x-1)L=0$. Ya que$x=1$ por cada real $x$ es absurdo, concluimos que $L=\lim\limits_{n\to\infty}x^n=0$ cuando $x\neq 1$. Sin embargo, sabemos que el razonamiento anterior es falso, ya que el límite no existe en primer lugar.
Respuestas
En primer lugar, voté a favor; Buen trabajo, muy bien mostrado.
Veo algunas áreas donde su análisis necesita mejorar:
(1)
Deberías haber expresado
$$ \sum_{n=m}^{\infty} a_n \text{ as } \sum_{n=m}^{m+k-1} a_n + \sum_{n=m+k}^{\infty} a_n. $$
Esto es diferente de lo que escribiste.
(2)
Continuando con su enfoque aquí (que me gusta), con la corrección anterior en su lugar,
el primer término en el RHS:$\sum_{n=m}^{m+k-1} a_n$
es una suma de un número fijo de términos (y por lo tanto finito), ya que$m$ y $k$ son (supongo) números fijos.
Por lo tanto, empleando su enfoque, habría escrito que
$S = \sum_{n=m}^{m+k-1} a_n$, con $S$ independiente de$N$,
y luego escrito$T_N = \sum_{n=m+k}^{N} a_n. $
Entonces, para simplificar la notación, habría escrito:
Let$T = \lim_{N \to \infty} T_N.$
(3)
Entonces el problema se reduciría a mostrar que$T$ es finito (en lugar de infinito) si y solo si $(T + S)$ es finito.
Este es el punto central del problema, y aquí es donde quieres que tu intuición se expanda. Lo anterior si y solo si la afirmación debe ser sencilla para demostrar el uso de$\epsilon, \delta$ La definición de tu clase es una suma infinita.
Esto se debe a que está claro que $\sum_{n=m}^N a_n = S + T_N.$
¿Puedes tomarlo desde aquí?