Problema con $I(\alpha) = \int_0^{\infty} \frac{\cos (\alpha x)}{x^2 + 1} dx$

Question

Finalmente estoy tratando de resolver $$I(\alpha) = \int_0^{\infty} \dfrac{\cos (\alpha x)}{x^2 + 1} dx$$

mediante el uso de diferenciación en la integral. Me doy cuenta de que esto se hace más fácilmente usando residuos, pero mi intención es que este problema presente a mis estudiantes de cálculo avanzado 2 / ecuaciones diferenciales algunas técnicas interesantes antes de que realicen un análisis real.

Diferenciar bajo la integral una primera vez conduce a

$$I'(\alpha) = \int_0^{\infty} \dfrac{-x \sin (\alpha x)}{x^2 + 1} dx = - \dfrac{\pi}{2} + \int_0^{\infty} \dfrac{\sin (\alpha x)}{x(x^2 + 1)}dx$$

haciendo uso de la integral de Dirichlet y nuevamente para

$$I''(\alpha) = \int_0^{\infty} \dfrac{\cos (\alpha x)}{x^2 + 1} = I(\alpha)$$

Para resolver esta EDO de segundo orden necesitaremos dos condiciones iniciales. La integral para$I'(\alpha)$ conduce al resultado incorrecto $I'(0) = 0$ pero la versión reescrita conduce al resultado correcto de $I'(0) = -\dfrac{\pi}{2}$. Tengo problemas para justificar esto.

Se agradece cualquier ayuda u orientación. También me conformaré con argumentos más simples sobre por qué$I'(0) \neq 0$.

Answer 1

Estás asumiendo que $$ \int_{0}^{\infty}\frac{\sin(\alpha x)}{x}dx= \frac{\pi}{2} $$ pero si $\alpha=0$, entonces $$ \int_{0}^{\infty}\frac{\sin(\alpha x)}{x}dx=0 $$ Entonces, la igualdad $$ \int_{0}^{\infty}\frac{−x\sin(αx)}{x^2+1}dx=-\frac{π}{2}+\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(αx)}{x(x^2+1)}dx $$ es cierto si $\alpha>0$.