Producto de promedios

Question

Dejar $(x_1,...,x_n)$ y $(y_1,...,y_n)$ ser dos tuplas diferentes de reales positivos tales que $x_1\times\dots\times x_n=y_1\times\dots\times y_n = c$. Es cierto que$$\left(\frac{x_1+y_1}{2}\right)\times\cdots\times \left(\frac{x_n+y_n}{2}\right) > c?$$

Creo que esto debería derivarse de un argumento de concavidad, tal vez en la función $f(x_1,...,x_n) = x_1\times\cdots\times x_n$, pero no estoy seguro de cómo exactamente.

Answer 1

La desigualdad entre la media aritmética y geométrica establece que$\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{x y}$ para $x, y \ge 0$, con igualdad si y solo si $x=y$.

Resulta que $$ \prod_{k=1}^n \frac{x_k+y_k}{2} \ge \prod_{k=1}^n \sqrt{x_k y_k} = \sqrt{\prod_{k=1}^n x_k \cdot \prod_{k=1}^n y_k} = c $$ con igualdad si y solo si $(x_1, \ldots, x_n) = (y_1, \ldots, y_n)$.

Si desea utilizar un argumento de concavidad, considere $$ g(x_1, \ldots, x_n) = \log x_1 + \ldots + \log x_n \, . $$ $g$ es cóncava como suma de funciones cóncavas.

Answer 2

Por titular $$\prod_{k=1}^n\frac{x_k+y_k}{2}\geq\frac{\left(\sqrt[n]{\prod\limits_{k=1}^nx_k}+\sqrt[n]{\prod\limits_{k=1}^ny_k}\right)^n}{2^n}=c$$