Programa lineal para modelar un problema dado
Este es el problema que estoy tratando de resolver:
"Una empresa fabrica tres productos, denominados producto A, producto B y producto C. La empresa tiene 4 trabajadores disponibles, y los trabajadores tienen diferentes tarifas a medida que trabajan en cada uno de los tres productos. Además, debido a la naturaleza de sus contratos, los trabajadores cobran una cantidad diferente según el producto en el que estén trabajando. El tiempo que tarda el trabajador i en hacer el producto del tiempo A, B o C, y la cantidad que cobran según el producto, se resumen en las dos tablas dado.
Tabla 1: Tiempo en minutos que le toma al trabajador i hacer una unidad de producto j.
Tabla 2: Monto pagado por empresa por una hora de Trabajador i cuando trabaja en el producto j.
(No puedo crear las tablas reales aquí, pero es bastante fácil tener una idea de cuál es la estructura de las tablas a partir de las descripciones de las tablas anteriores)
Suponga que cada trabajador trabaja 40 horas a la semana. Debido a los compromisos de la empresa con los clientes existentes, la empresa debe producir al menos 100 unidades del producto A, 150 unidades del producto B y 100 unidades del producto C. Escriba un programa lineal que le diga a la empresa cómo asignar a cada trabajador para que se satisface la demanda de cada widget y se minimizan los costes para la empresa.
Por lo tanto, debe indicar cuáles son las variables de decisión, y luego cuál es el vector correspondiente a la función objetivo, la matriz correspondiente a las restricciones, etc. "
Pasé horas tratando de formular esto como un programa lineal y el único enfoque que pude pensar fue minimizar el costo total haciéndolo de la forma min CX donde cada elemento de C, es decir, C (i) (j) denota la cantidad que el trabajador i cobra por trabajar en el producto j por unidad de tiempo y cada elemento de X, es decir, X (i) (j) denota el tiempo total que el trabajador i dedica a trabajar en el producto j. Pero, obviamente, este no es el enfoque correcto ya que se supone que C y X son vectores. Intenté buscar problemas que podrían ser similares a este, pero no pude encontrar ninguno.
Respuestas
Estás en el camino correcto. Puedes aplastar el$C$ y $X$matrices en vectores. Por ejemplo, suponga que tiene dos trabajadores y tres productos, de modo que$C$ y $X$son matrices de 2x3. Dejar$c=(C_{11}, C_{12}, C_{13}, C_{21}, C_{22}, C_{23})$ y deja $x = (X_{11}, \dots, X_{23})$. Ahora tienes vectores.
Consideremos un período de tiempo de planificación de 1 semana. Cada trabajador trabaja 8 horas al día y 5 días a la semana, por lo que la cantidad de tiempo disponible para trabajar por semana es igual a$40$ horas $= 2,400$minutos. Vamos a presentar$4 \cdot 3 = 12 $ variables enteras positivas designadas como $x_{i,j}$ dónde $i=1,2,3,4$ y $j=1,2,3$.
$x_{i,j}$ representa la cantidad de j-ésimo producto fabricado por i-ésimo trabajador, claramente debe ser un número entero positivo.
$a_{i,j}$ es el tiempo en minutos que le toma al Trabajador i hacer una unidad de producto j.
$b_{i,j}$ es el costo pagado por la empresa por una hora del trabajador i cuando se trabaja en el producto j
Queremos cubrir la demanda semanal de los tres productos, gastando el mínimo posible.
La función objetivo se puede formular correctamente como
$ \min \sum_{i=1}^4 \sum_{j=1}^3 (a_{i,j}/60) \cdot b_{i,j} \cdot x_{i,j} $
sujeto a $\left\{ \begin{array}{l} \sum_{i=1}^4 x_{i,1} \geq 100 \\ \sum_{i=1}^4 x_{i,2} \geq 150 \\ \sum_{i=1}^4 x_{i,3} \geq 100 \\ \sum_{j=1}^3 a_{1,j} x_{1,j} \leq 2,400 \\ \sum_{j=1}^3 a_{2,j} x_{2,j} \leq 2,400 \\ \sum_{j=1}^3 a_{3,j} x_{3,j} \leq 2,400 \\ \sum_{j=1}^3 a_{4,j} x_{4,j} \leq 2,400 \\ x_ij \in N \forall i=1,2,3,4 \forall j=1,2,3 \\ \end{array} \right. $
$ \sum_{i=1}^4 x_{i,j} \geq c_j $ designa la restricción sobre la demanda semanal de j-ésimo producto donde $c_j $ es la demanda de j-ésimo producto.
$ \sum_{j=1}^3 a_{i,j} x_{i,j} $ es el tiempo de trabajo empleado por i-ésimo trabajador, por lo que $ \sum_{j=1}^3 a_{i,j} x_{i,j} \leq 2,400 $ designa la restricción sobre la cantidad total de minutos disponibles para el i-ésimo trabajador en una semana.