Propiedad de integración

Question

Dejar $T>0$fijo. Dejar$f,g : [0,T] \subset \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ funciones diferenciables tales que, para algunos $c>1$, $$f(x) \geq c, \; \forall \; x \in [0,T] .$$

Yo sé eso $f\cdot g$ también es integrable.

Pregunta. Es cierto que$$\int_{0}^T c \cdot g(x) \; dx \leq \int_{0}^T f(x) \cdot g(x) \; dx?$$

Pensé en aplicar la integración por partes para intentar probarlo, pero no pude concluir nada.

Answer 1

Eso es falso. $f(x)=c+1$ y $g(x)=-1$ da un contraejemplo.

Sin embargo, si también tenemos $g(x) \geq 0$ luego $f(x)g(x)-cg(x) \geq 0$ entonces $\int_0^{T} [f(x)g(x)-cg(x)] \geq 0$ lo que da $\int_0^{T} f(x)g(x) \geq c \int_0^{T} f(x)dx$.